Blog
Chân đường phân giác là gì? Công thức, tính chất và cách xác định
Đường phân giác là một trong những kiến thức quan trọng của Hình học xuất hiện xuyên suốt từ các bài toán tam giác cơ bản đến hình học tọa độ. Khi học chủ đề này, học sinh thường gặp những câu hỏi như chân đường phân giác là gì, làm thế nào xác định toạ độ chân đường phân giác, đâu là công thức tính độ dài đường phân giác, hay giao điểm của 3 đường phân giác gọi là gì.
Bên cạnh đó, các kiến thức về đường phân giác ngoài, tính chất đường phân giác ngoài và phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất cũng thường xuất hiện trong bài tập. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống lại những nội dung quan trọng này một cách dễ hiểu.
Chân đường phân giác là gì?
Trước khi tìm hiểu chân đường phân giác là gì thì cần nhớ rằng đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh, chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau cả cắt cạnh đối diện.
Xét tam giác ABC. Giả sử AD là đường phân giác của góc A và D nằm trên cạnh BC.
Khi đó, D được gọi là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A.
Có thể hiểu đơn giản
- A là đỉnh xuất phát của đường phân giác.
- AD là đường phân giác.
- D là chân đường phân giác trên cạnh BC.
Theo định lý đường phân giác trong tam giác
BD/DC = AB/AC
Đây là cơ sở rất quan trọng xác định độ dài các đoạn hoặc tọa độ của chân đường phân giác.
Toạ độ chân đường phân giác được tính như thế nào?
Trong hình học tọa độ, bài toán tìm toạ độ chân đường phân giác thường sử dụng tính chất chia đoạn theo tỉ lệ.
Xét tam giác ABC với
A(x₁; y₁),
B(x₂; y₂),
C(x₃; y₃).
Giả sử AD là đường phân giác của góc A và D thuộc BC.
Theo định lý đường phân giác
BD/DC = AB/AC.
Đặt
AB = c,
AC = b.
Khi đó D chia đoạn BC theo tỉ số
BD : DC = c : b.
Tọa độ điểm D được xác định bởi công thức chia trong
D((b·x₂ + c·x₃)/(b + c); (b·y₂ + c·y₃)/(b + c))
Lưu ý rằng hệ số gắn với tọa độ của một đầu mút chính là độ dài đoạn nằm về phía đầu mút còn lại.
Ví dụ
Cho
B(0; 0), C(6; 0),
và biết
AB : AC = 1 : 2.
Vì
BD/DC = AB/AC = 1/2,
nên D chia BC theo tỉ lệ 1 : 2.
Do BC = 6 nên
BD = 2, DC = 4.
Vậy
D(2; 0).
Trong nhiều bài toán, cách sử dụng định lý đường phân giác kết hợp công thức chia đoạn sẽ nhanh hơn việc lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm.
Công thức tính độ dài đường phân giác
Một nội dung quan trọng khác là công thức tính độ dài đường phân giác trong tam giác.
Xét tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A.
Đặt
BC = a,
CA = b,
AB = c.
Khi đó độ dài đường phân giác AD được tính theo công thức
AD² = bc – BD·DC
Ngoài ra, có thể sử dụng công thức
AD = √[bc((b + c)² – a²)] / (b + c)
Một dạng khác thường gặp là
AD = 2bc·cos(A/2)/(b + c)
Trong đó A là số đo góc BAC.
Tùy dữ kiện bài toán mà học sinh có thể lựa chọn công thức thuận tiện nhất.
Ví dụ
Cho tam giác ABC có
AB = 6 cm,
AC = 8 cm,
BC = 10 cm.
Ta có
b = 8, c = 6, a = 10.
Khi đó
AD = √[8 × 6 × ((8 + 6)² – 10²)] / (8 + 6)
= √[48 × (196 – 100)] / 14
= √4608 / 14
≈ 4,85 cm.
Như vậy, nếu biết ba cạnh của tam giác, chúng ta hoàn toàn có thể tính được độ dài đường phân giác.
Giao điểm của 3 đường phân giác gọi là gì?
Một câu hỏi rất phổ biến trong chương trình Hình học là giao điểm của 3 đường phân giác gọi là gì?
Trong một tam giác, ba đường phân giác trong luôn đồng quy tại một điểm.
Điểm này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thường ký hiệu là I.
Điểm I có một tính chất đặc biệt
Khoảng cách từ I đến ba cạnh của tam giác bằng nhau.
Do đó khi lấy I làm tâm và khoảng cách từ I đến một cạnh làm bán kính, ta vẽ được một đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác chính là đường tròn nội tiếp.
Như vậy cần ghi nhớ
Giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Đường phân giác ngoài là gì?
Ngoài đường phân giác trong, chúng ta còn có đường phân giác ngoài.
Tại một đỉnh của tam giác, khi kéo dài một cạnh, cạnh kéo dài và cạnh còn lại tạo thành một góc ngoài. Tia chia góc ngoài này thành hai góc bằng nhau được gọi là đường phân giác ngoài.
Ví dụ, trong tam giác ABC kéo dài cạnh AB qua A tạo một tia đối với AB. Góc tạo bởi tia này và AC là một góc ngoài tại A.
Tia chia đôi góc ngoài đó được gọi là đường phân giác ngoài tại đỉnh A.
Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của cùng một đỉnh vuông góc với nhau.
Nguyên nhân là hai góc trong và ngoài kề nhau có tổng số đo bằng 180°. Khi chia đôi mỗi góc, tổng hai góc nhỏ nhận được bằng
180° : 2 = 90°.
Do đó, hai đường phân giác vuông góc.
Tính chất đường phân giác ngoài
Tính chất đường phân giác ngoài có nhiều nét tương đồng với đường phân giác trong.
Xét tam giác ABC. Đường phân giác ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại D với D thường nằm ngoài đoạn BC.
Khi đó
BD/CD = AB/AC
xét theo độ dài dương trong cấu hình thích hợp.
Nói cách khác đường phân giác ngoài chia cạnh đối diện về phía kéo dài theo tỉ lệ hai cạnh kề của góc.
Tính chất này thường được dùng để
- Tính độ dài các đoạn thẳng.
- Chứng minh một tia là đường phân giác ngoài.
- Giải bài toán tỉ lệ.
- Xác định tọa độ giao điểm trong hình học giải tích.
Ngoài ra, giao điểm của một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của tam giác tạo thành một tâm đường tròn bàng tiếp.
Một tam giác có ba tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với ba đỉnh.
Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất
Trong hệ trục tọa độ Oxy, hai trục Ox và Oy tạo thành bốn góc phần tư.
Góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi
- Tia Ox dương.
- Tia Oy dương.
Góc này có số đo 90°.
Tia phân giác của góc phần tư thứ nhất tạo với mỗi trục tọa độ một góc 45°.
Vì vậy phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất là
y = x
Hay viết dưới dạng tổng quát
x – y = 0.
Đường thẳng này đi qua gốc tọa độ O(0; 0) tạo với chiều dương của trục Ox một góc 45°.
Trong khi đó, đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư nằm trên đường
y = -x.
Do đó, hai đường
y = x và y = -x
là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai trục tọa độ.
Quan sát trên hệ tọa độ, đường y = x đi qua góc phần tư thứ nhất và thứ ba còn y = -x đi qua góc phần tư thứ hai và thứ tư.
Cách tìm phương trình đường phân giác của hai đường thẳng
Trong hình học giải tích, ngoài trường hợp hai trục tọa độ, học sinh còn có thể phải tìm đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng bất kỳ.
Giả sử hai đường thẳng có phương trình
d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0
d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0.
Các điểm nằm trên đường phân giác có khoảng cách đến hai đường thẳng bằng nhau.
Do đó
(a₁x + b₁y + c₁)/√(a₁² + b₁²) = ±(a₂x + b₂y + c₂)/√(a₂² + b₂²)
Dấu + và − tạo ra hai đường phân giác của hai góc được hình thành bởi d₁ và d₂.
Đây là công thức quan trọng trong hình học tọa độ lớp THPT.
Một số lưu ý khi làm bài về đường phân giác
Để tránh nhầm lẫn, học sinh cần phân biệt rõ đường phân giác với đường trung tuyến và đường cao.
Đường phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau.
Đường trung tuyến nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.
Đường cao đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện.
Trong tam giác cân, ba loại đường này có thể trùng nhau nếu cùng xuất phát từ đỉnh cân. Tuy nhiên với tam giác thường thì chúng là những đường khác nhau.
Khi tính toạ độ chân đường phân giác cũng cần đặc biệt chú ý đến tỉ lệ
BD/DC = AB/AC.
Việc ghép sai các đoạn với các cạnh tương ứng có thể khiến toàn bộ kết quả sai.
Đường phân giác là một nội dung quan trọng của Hình học cả có nhiều ứng dụng trong cả hình học phẳng lẫn hình học tọa độ.
Để trả lời câu hỏi chân đường phân giác là gì có thể hiểu đó là giao điểm giữa đường phân giác xuất phát từ một đỉnh với cạnh đối diện của tam giác. Từ định lý đường phân giác, chúng ta có thể xác định toạ độ chân đường phân giác cũng như tính độ dài các đoạn liên quan.
Bên cạnh đó, học sinh cần ghi nhớ công thức tính độ dài đường phân giác, hiểu rằng giao điểm của ba đường phân giác trong chính là tâm đường tròn nội tiếp với nắm vững tính chất đường phân giác ngoài.
Trong hình học tọa độ, một kiến thức đặc biệt dễ nhớ là phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất
y = x.
Nắm vững các khái niệm, công thức và tính chất trên sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao liên quan đến đường phân giác.
