Rút gọn phân thức là gì? Hướng dẫn rút gọn phân thức đại số lớp 8

Trong chương trình Toán 8, rút gọn phân thức là một nội dung nền tảng của phần phân thức đại số là kỹ năng quan trọng vì thường xuất hiện trong các dạng bài quy đồng, cộng trừ, nhân chia phân thức cả giải phương trình. Nếu nắm chắc cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử cả xác định nhân tử chung và điều kiện xác định, học sinh có thể xử lý bài toán nhanh cả chính xác hơn. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách rút gọn phân thức đại số lớp 8 từ cơ bản đến nâng cao.

Rút gọn phân thức là gì?

Rút gọn phân thức là biến đổi một phân thức thành phân thức đơn giản hơn nhưng vẫn có giá trị bằng phân thức ban đầu với những giá trị của biến thỏa mãn điều kiện xác định.

Dạng tổng quát

A/B

trong đó A và B là các đa thức, B khác 0.

Nếu tử và mẫu có nhân tử chung khác 1, ta có thể chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó để được phân thức gọn hơn.

Ví dụ

6x/9x²

có thể chia cả tử và mẫu cho 3x ta được

2/3x

với điều kiện x khác 0.

Vì sao cần rút gọn phân thức?

Rút gọn giúp

Làm biểu thức ngắn gọn hơn.
Dễ thực hiện các phép tính tiếp theo.
Dễ nhận biết cấu trúc của biểu thức.
Giảm sai sót khi biến đổi.
Hỗ trợ giải phương trình cả chứng minh đẳng thức.

Trong thực tế làm bài, nếu không rút gọn trước, biểu thức có thể trở nên dài và khó kiểm soát.

Quy tắc rút gọn phân thức đại số lớp 8

Muốn rút gọn phân thức đại số lớp 8 thì học sinh có thể thực hiện theo các bước sau

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Giữ lại điều kiện xác định ban đầu của phân thức.

Đây là quy trình cơ bản cần ghi nhớ.

Ví dụ rút gọn phân thức đơn giản

Xét phân thức

12x²y / 18xy²

Ta tìm nhân tử chung của tử và mẫu.

Cả tử và mẫu đều có

Do đó

12x²y / 18xy² = 2x / 3y

Điều kiện

x ≠ 0, y ≠ 0

Trong đó, y khác 0 là điều kiện trực tiếp từ mẫu ban đầu còn x khác 0 do mẫu có chứa x.

Rút gọn phân thức bằng cách đặt nhân tử chung

Ví dụ

(3x² + 6x) / (9x)

Phân tích tử

3x² + 6x = 3x(x + 2)

Khi đó

3x(x + 2) / 9x

Chia cả tử và mẫu cho 3x

(x + 2) / 3

Điều kiện

x ≠ 0

Điểm quan trọng là không được gạch x trong biểu thức khi tử chưa được viết dưới dạng tích.

Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức là công cụ rất quan trọng.

Ví dụ

(x² – 9) / (x² + 3x)

Ta có

x² – 9 = (x – 3)(x + 3)

và

x² + 3x = x(x + 3)

Do đó

[(x – 3)(x + 3)] / [x(x + 3)] = (x – 3)/x

Điều kiện ban đầu

x ≠ 0, x ≠ -3

Lưu ý rằng dù nhân tử x + 3 đã được rút gọn, giá trị x = -3 vẫn phải bị loại vì nó làm mẫu của phân thức ban đầu bằng 0.

Những hằng đẳng thức thường dùng khi rút gọn

Khi làm bài, học sinh nên ghi nhớ

a² – b² = (a – b)(a + b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Những công thức này giúp phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để tìm phần chung.

Rút gọn phân thức có dấu âm

Ví dụ

(x – 2) / (2 – x)

Ta có

2 – x = -(x – 2)

Do đó

(x – 2) / [-(x – 2)] = -1

Điều kiện

x ≠ 2

Đây là dạng rất hay gặp trong bài tập lớp 8.

Mẹo nhớ

a – b = -(b – a)

Điều kiện xác định của phân thức

Trước hoặc sau khi rút gọn, học sinh cần xác định điều kiện để mẫu khác 0.

Ví dụ

(x² – 4) / (x² – 2x)

Mẫu

x² – 2x = x(x – 2)

Điều kiện

x ≠ 0, x ≠ 2

Phân tích tử

x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Rút gọn

[(x – 2)(x + 2)] / [x(x – 2)] = (x + 2)/x

Nhưng điều kiện vẫn phải giữ

x ≠ 0, x ≠ 2

Không được chỉ ghi x khác 0 sau khi rút gọn.

Có được gạch số hạng giống nhau không?

Không.

Đây là một trong những lỗi phổ biến nhất khi rút gọn phân thức.

Ví dụ

(x + 2) / (x + 3)

Không thể gạch x ở tử và mẫu.

Lý do là x đang nằm trong phép cộng chứ không phải là một nhân tử chung.

Chỉ được rút gọn khi tử và mẫu có dạng tích.

Ví dụ

x(x + 2) / x(x + 3)

lúc này có thể chia cả tử và mẫu cho x.

Ta được

(x + 2)/(x + 3)

với x khác 0.

Phân biệt nhân tử và số hạng

Để tránh sai, cần hiểu

Trong biểu thức

x(x + 1)

x và (x + 1) là các nhân tử.

Trong biểu thức

x + 1

x và 1 là các số hạng.

Chỉ nhân tử chung mới được rút gọn trực tiếp.

Đây là kiến thức rất quan trọng trong toàn bộ phần phân thức đại số lớp 8.

Ví dụ rút gọn phân thức nâng cao hơn

Xét

(x² – 5x + 6) / (x² – 4)

Phân tích tử

x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Phân tích mẫu

x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Rút gọn

(x – 3)/(x + 2)

Điều kiện

x ≠ 2, x ≠ -2

Dạng này yêu cầu học sinh biết phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử.

Rút gọn phân thức có nhiều biến

Ví dụ

(a²b – ab²) / (a² – b²)

Phân tích tử

ab(a – b)

Phân tích mẫu

(a – b)(a + b)

Rút gọn

ab/(a + b)

Điều kiện

a ≠ b, a ≠ -b

Đây là dạng thường gặp khi học sinh đã quen với phân tích đa thức thành nhân tử.

Các bước làm bài rút gọn phân thức nhanh

Có thể ghi nhớ theo công thức

Phân tích → tìm chung → chia → điều kiện

Cụ thể

Bước 1 Tìm điều kiện xác định.

Bước 2 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 3 Xác định nhân tử giống nhau.

Bước 4 Rút gọn.

Bước 5 Kiểm tra lại điều kiện và kết quả.

Nếu làm theo đúng thứ tự này, khả năng nhầm lẫn sẽ giảm đáng kể.

Những lỗi thường gặp trong rút gọn phân thức đại số lớp 8

Lỗi thứ nhất là gạch các số hạng thay vì nhân tử.

Ví dụ sai

(x + 3)/(x + 5) → 3/5

Đây là phép biến đổi sai.

Lỗi thứ hai là quên đổi dấu.

Ví dụ

x – 2 và 2 – x không giống nhau mà đối nhau.

Lỗi thứ ba là quên điều kiện xác định.

Lỗi thứ tư là phân tích đa thức sai.

Lỗi thứ năm là rút gọn chưa hết khiến kết quả vẫn còn nhân tử chung.

Mẹo học tốt rút gọn phân thức

Trước khi học rút gọn, học sinh nên ôn chắc ba nội dung

Hằng đẳng thức đáng nhớ.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Quy tắc dấu.

Sau đó nên luyện từ bài đơn giản đến phức tạp.

Ví dụ

Mức 1 Rút gọn đơn thức trên đơn thức.

Mức 2 Đặt nhân tử chung.

Mức 3 Dùng hằng đẳng thức.

Mức 4 Kết hợp nhiều phương pháp.

Mức 5 Phân thức nhiều biến hoặc có tham số.

Học theo từng mức giúp dễ phát hiện phần kiến thức còn yếu.

Bài tập rút gọn phân thức mẫu

Bài 1

Rút gọn

8x² / 12x

Ta được

2x/3

với x khác 0.

Bài 2

Rút gọn

(x² – 16)/(x + 4)

Ta có

x² – 16 = (x – 4)(x + 4)

Do đó

x – 4

với điều kiện x khác -4.

Bài 3

Rút gọn

(x² + 2x)/(x² – 4)

Phân tích

x(x + 2) / [(x – 2)(x + 2)]

Kết quả

x/(x – 2)

Điều kiện

x ≠ -2, x ≠ 2

Rút gọn phân thức có vai trò gì trong các bài học sau?

Kiến thức này không đứng riêng lẻ.

Nó được sử dụng trong

Quy đồng mẫu thức.
Cộng hai phân thức.
Trừ hai phân thức.
Nhân phân thức.
Chia phân thức.
Biến đổi biểu thức.
Giải phương trình chứa phân thức.

Nếu rút gọn tốt thì các dạng bài sau sẽ trở nên dễ hơn rất nhiều.

Rút gọn phân thức là quá trình biến đổi một phân thức về dạng đơn giản hơn bằng cách chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung là kiến thức nền tảng trong chương trình rút gọn phân thức đại số lớp 8 và có liên quan trực tiếp đến nhiều nội dung tiếp theo.

Muốn làm tốt dạng bài này, học sinh cần nhớ nguyên tắc trước hết phân tích tử và mẫu thành nhân tử, sau đó mới rút gọn các nhân tử chung. Tuyệt đối không gạch trực tiếp các số hạng trong phép cộng hoặc trừ.

Tag hàm