Phân giác là gì? Tia phân giác, đường phân giác và phân giác ngoài của tam giác

Trong hình học, phân giác là một khái niệm cơ bản thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến góc và tam giác. Nắm vững phân giác là gì, tia phân giác là gì, đường phân giác là gì cũng như tính chất của phân giác ngoài của tam giác sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài hình học một cách thuận lợi hơn.

Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp những kiến thức quan trọng về phân giác từ định nghĩa, tính chất đến các công thức thường gặp.

Phân giác là gì?

Phân giác có thể hiểu đơn giản là yếu tố chia một góc thành hai góc có số đo bằng nhau.

Giả sử có góc AOB và một tia OC nằm bên trong góc đó. Nếu

∠AOC = ∠COB

thì OC được gọi là tia phân giác của góc AOB.

Ví dụ góc AOB có số đo 80°. Nếu OC là tia phân giác của góc AOB thì

∠AOC = ∠COB = 40°.

Như vậy khi biết số đo của một góc và biết tia phân giác của góc đó, ta có thể lấy số đo góc ban đầu chia cho 2 để tìm số đo của mỗi góc nhỏ.

Khái niệm phân giác xuất hiện rất nhiều trong hình học phẳng đặc biệt là các bài toán về tam giác, khoảng cách và chứng minh hai góc bằng nhau.

Tia phân giác là gì?

Tia phân giác là gì là câu hỏi thường gặp khi học về góc.

Tia phân giác của một góc là tia xuất phát từ đỉnh của góc nằm giữa hai cạnh của góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Giả sử tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì

∠xOz = ∠zOy = 1/2 ∠xOy.

Ví dụ

∠xOy = 120°

Oz là tia phân giác của ∠xOy.

Khi đó

∠xOz = ∠zOy = 60°.

Từ đây có thể thấy dấu hiệu quan trọng nhằm xác định một tia có phải tia phân giác hay không là tia đó phải đồng thời đáp ứng hai điều kiện

• Nằm bên trong góc.
• Tạo với hai cạnh của góc hai góc có số đo bằng nhau.

Tính chất của tia phân giác

Tia phân giác có một tính chất hình học rất quan trọng liên quan đến khoảng cách.

Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ngược lại, nếu một điểm nằm bên trong một góc có khoảng cách đến hai cạnh của góc bằng nhau thì điểm đó nằm trên tia phân giác của góc.

Tính chất thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh và dựng hình.

Ví dụ nếu điểm M nằm trên tia phân giác của góc AOB từ M kẻ

MH ⊥ OA

MK ⊥ OB

thì

MH = MK.

Điều này có nghĩa khoảng cách từ M đến hai cạnh của góc AOB bằng nhau.

Đường phân giác là gì?

Bên cạnh tia phân giác, một khái niệm khác thường được nhắc đến là đường phân giác là gì.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh đi theo tia phân giác của góc đó với cắt cạnh đối diện.

Cho tam giác ABC. Nếu AD là tia phân giác của góc A và D nằm trên cạnh BC thì đoạn AD thường được gọi là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC.

Khi đó

∠BAD = ∠DAC.

Mỗi tam giác có ba đường phân giác trong tương ứng với ba góc A, B và C.

Ba đường phân giác trong của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm.

Điểm đó được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

Định lý đường phân giác trong tam giác

Một trong những kiến thức quan trọng nhất liên quan đến đường phân giác là định lý đường phân giác.

Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A và D thuộc cạnh BC.

Khi đó

BD/DC = AB/AC.

Có nghĩa là đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Ví dụ

AB = 6 cm

AC = 9 cm

BD = 4 cm.

Theo định lý đường phân giác

BD/DC = AB/AC

Ta có

4/DC = 6/9 = 2/3.

Suy ra

DC = 6 cm.

Định lý được áp dụng phổ biến trong các bài toán tính độ dài cạnh hay tìm tỷ số hay chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ.

Ba đường phân giác của tam giác có tính chất gì?

Trong một tam giác, ba đường phân giác của ba góc trong luôn cắt nhau tại cùng một điểm.

Gọi giao điểm đó là I.

Điểm I có tính chất

Khoảng cách từ I đến ba cạnh của tam giác bằng nhau.

Nếu từ I kẻ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác thì ba đoạn vuông góc có cùng độ dài.

Chính vì vậy I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Đường tròn nội tiếp là đường tròn nằm bên trong tam giác cả tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

Phân giác ngoài của tam giác là gì?

Ngoài đường phân giác trong, chúng ta còn có phân giác ngoài của tam giác.

Tại một đỉnh của tam giác, một cạnh và phần kéo dài của cạnh còn lại tạo thành một góc ngoài.

Tia chia góc ngoài này thành hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác ngoài.

Ví dụ trong tam giác ABC kéo dài cạnh AB qua A tạo thành tia Ax. Khi đó góc xAC là một góc ngoài tại đỉnh A.

Nếu tia Ay chia góc xAC thành hai góc bằng nhau thì Ay là tia phân giác ngoài tại đỉnh A.

Mỗi đỉnh của tam giác đều có thể xác định đường phân giác ngoài tương ứng.

Tính chất của phân giác ngoài của tam giác

Đường phân giác ngoài cũng có một định lý tỷ lệ quan trọng.

Cho tam giác ABC. Giả sử đường phân giác ngoài của góc A cắt đường thẳng BC tại D, trong trường hợp D nằm ngoài đoạn BC.

Khi đó

BD/CD = AB/AC

nếu xét theo độ dài dương phù hợp với vị trí các điểm.

Như vậy đường phân giác ngoài chia cạnh đối diện theo tỷ lệ giữa hai cạnh kề với góc tương ứng nhưng điểm chia thường nằm trên phần kéo dài của cạnh đối diện.

Đây là một trong những tính chất thường gặp trong các bài toán hình học nâng cao hơn.

Mối quan hệ giữa phân giác trong và phân giác ngoài

Tại cùng một đỉnh của tam giác, đường phân giác trong và đường phân giác ngoài vuông góc với nhau.

Nguyên nhân là góc trong và góc ngoài kề với nó có tổng số đo bằng 180°.

Giả sử góc trong có số đo α thì góc ngoài tương ứng có số đo

180° − α.

Sau khi chia đôi hai góc, góc tạo bởi hai đường phân giác là

α/2 + (180° − α)/2 = 90°.

Do đó, phân giác trong và phân giác ngoài tương ứng vuông góc với nhau.

Phân biệt tia phân giác và đường phân giác

Tia phân giác và đường phân giác có liên quan chặt chẽ nhưng không hoàn toàn giống nhau.

Tia phân giác chủ yếu được sử dụng khi xét một góc. Tia bắt đầu từ đỉnh của góc chia góc thành hai phần bằng nhau.

Đường phân giác trong tam giác thường được hiểu là đoạn thẳng nằm trên tia phân giác nối từ đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện.

Ví dụ trong tam giác ABC

AD là đường phân giác của góc A.

Đồng thời tia AD cũng chính là tia phân giác của góc BAC.

Việc phân biệt hai cách gọi này sẽ giúp học sinh sử dụng thuật ngữ hình học chính xác hơn trong từng trường hợp.

Một số dạng bài tập về phân giác thường gặp

Kiến thức về phân giác thường xuất hiện trong nhiều dạng bài chẳng hạn

• Tính số đo góc khi biết tia phân giác.
• Chứng minh một tia là tia phân giác.
• Tính độ dài các đoạn thẳng bằng định lý đường phân giác.
• Chứng minh hai đoạn thẳng tỷ lệ.
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Bài toán về khoảng cách từ một điểm đến hai cạnh của góc.
• Bài toán liên quan đến phân giác ngoài của tam giác.
• Chứng minh phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc.

Khi giải bài cần đọc kỹ giả thiết để xác định bài toán đang đề cập đến phân giác trong hay phân giác ngoài.

Hiểu phân giác là gì là nền tảng để học tốt nhiều kiến thức hình học liên quan đến góc và tam giác. Tia phân giác là tia chia một góc thành hai góc bằng nhau trong khi đường phân giác trong tam giác nối một đỉnh với cạnh đối diện theo hướng của tia phân giác.

Đặc biệt, định lý đường phân giác cho biết đường phân giác trong chia cạnh đối diện thành các đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề. Bên cạnh đó, phân giác ngoài của tam giác cũng có những tính chất tỷ lệ quan trọng thường được sử dụng trong các bài toán hình học mở rộng.