Tia phân giác của một góc là gì? Tính chất và cách vẽ đơn giản

Trong chương trình Hình học, tia phân giác của một góc là kiến thức nền tảng xuất hiện rất thường xuyên trong các bài tập về góc, tam giác và chứng minh hình học. Để học tốt phần này học sinh không chỉ cần hiểu khái niệm mà còn phải nắm được tính chất tia phân giác của 1 góc, biết cách vẽ tia phân giác, đặc biệt là cách vẽ tia phân giác bằng compa và cách vẽ tia phân giác bằng thước thẳng.

Vậy tia phân giác là gì? Làm thế nào để nhận biết và vẽ chính xác tia phân giác của một góc? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết trong bài viết dưới đây.

Tia phân giác của một góc là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Ví dụ xét góc xOy. Nếu tia Oz nằm bên trong góc xOy và thỏa mãn

∠xOz = ∠zOy

thì tia Oz được gọi là tia phân giác của góc xOy.

Nói một cách đơn giản, tia phân giác chính là tia chia đôi một góc thành hai phần bằng nhau.

Ví dụ, nếu

∠xOy = 60°

và Oz là tia phân giác của góc xOy thì

∠xOz = ∠zOy = 30°.

Tương tự, nếu góc ban đầu có số đo 90° thì tia phân giác sẽ chia góc đó thành hai góc 45°.

Tính chất tia phân giác của 1 góc

Một trong những nội dung quan trọng cần ghi nhớ là tính chất tia phân giác của 1 góc.

Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh của góc bằng nhau.

Cụ thể xét góc xOy có tia Oz là tia phân giác. Lấy điểm M bất kỳ trên tia Oz. Kẻ

MA vuông góc với Ox,
MB vuông góc với Oy.

Khi đó

MA = MB.

Nói cách khác, mọi điểm nằm trên tia phân giác đều cách đều hai cạnh của góc.

Tính chất đảo của tia phân giác

Ngoài tính chất trên, học sinh cũng cần ghi nhớ tính chất đảo.

Nếu một điểm nằm bên trong một góc và có khoảng cách đến hai cạnh của góc bằng nhau thì điểm đó nằm trên tia phân giác của góc.

Ví dụ, điểm M nằm bên trong góc xOy. Nếu khoảng cách từ M đến Ox bằng khoảng cách từ M đến Oy thì OM là tia phân giác của góc xOy.

Tính chất này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh một tia là tia phân giác.

Cách nhận biết tia phân giác

Để xác định một tia có phải là tia phân giác hay không có thể dựa vào một số dấu hiệu cơ bản.

Cách trực tiếp nhất là chứng minh hai góc được tạo thành bằng nhau.

Ví dụ muốn chứng minh Oz là tia phân giác của góc xOy ta cần chứng minh

∠xOz = ∠zOy.

Ngoài ra, có thể sử dụng tính chất khoảng cách. Nếu lấy một điểm M trên Oz và chứng minh khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox và Oy bằng nhau ta cũng có thể kết luận Oz là tia phân giác.

Trong các bài tập tam giác, việc chứng minh tia phân giác còn có thể dựa vào các định lý về đường phân giác.

Cách vẽ tia phân giác đơn giản

Có nhiều cách vẽ tia phân giác tùy vào dụng cụ và yêu cầu của bài toán.

Phương pháp đơn giản nhất là sử dụng thước đo góc.

Giả sử cần vẽ tia phân giác của góc xOy có số đo 80°.

Ta thực hiện như sau

Bước 1 Đo số đo của góc xOy.

Bước 2 Chia số đo góc cho 2

80° : 2 = 40°.

Bước 3 Dùng thước đo góc xác định một tia nằm trong góc xOy sao cho tia này tạo với Ox một góc 40°.

Bước 4 Vẽ tia đó.

Tia vừa vẽ chính là tia phân giác của góc xOy.

Đây là phương pháp dễ thực hiện và phù hợp với các bài tập cơ bản.

Cách vẽ tia phân giác bằng compa

Cách vẽ tia phân giác bằng compa là một phương pháp rất quan trọng trong Hình học vì không cần biết trước số đo của góc.

Giả sử cần dựng tia phân giác của góc xOy.

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1 Vẽ cung tròn cắt hai cạnh của góc

Đặt mũi compa tại đỉnh O.

Mở compa một khoảng tùy ý rồi vẽ một cung tròn cắt hai tia Ox và Oy lần lượt tại A và B.

Khi đó

OA = OB

vì A và B nằm trên cùng một đường tròn tâm O.

Bước 2 Vẽ hai cung tròn từ A và B

Giữ nguyên hay chọn một độ mở compa phù hợp.

Đặt mũi compa tại A vẽ một cung tròn bên trong góc xOy.

Tiếp tục đặt mũi compa tại B với cùng độ mở vẽ một cung tròn cắt cung trước tại điểm C.

Do cùng bán kính nên

AC = BC.

Bước 3 Nối O với C

Dùng thước thẳng vẽ tia OC.

Tia OC chính là tia phân giác của góc xOy.

Vì sao cách dựng này đúng?

Ta xét hai tam giác OAC và OBC.

Ta có

OA = OB,
AC = BC,
OC là cạnh chung.

Do đó

ΔOAC = ΔOBC theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Suy ra

∠AOC = ∠COB.

Vì A nằm trên Ox và B nằm trên Oy nên

∠xOC = ∠COy.

Vậy OC là tia phân giác của góc xOy.

Ưu điểm của cách vẽ tia phân giác bằng compa

So với cách sử dụng thước đo góc, cách vẽ tia phân giác bằng compa có ưu điểm là không cần biết số đo của góc.

Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong các bài toán dựng hình, nơi học sinh chỉ được phép sử dụng thước thẳng và compa.

Ngoài ra, nếu thực hiện cẩn thận, cách dựng bằng compa có độ chính xác cao giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất hình học của tia phân giác.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước thẳng

Cụm từ cách vẽ tia phân giác bằng thước thẳng cần được hiểu đúng.

Nếu chỉ sử dụng một chiếc thước thẳng không có vạch đo trong trường hợp tổng quát chúng ta không thể dựng chính xác tia phân giác của một góc bất kỳ chỉ bằng các thao tác kẻ đường thông thường.

Thông thường để dựng tia phân giác chính xác học sinh cần kết hợp thước thẳng với compa.

Tuy nhiên, nếu sử dụng thước có vạch chia hay kết hợp với thước đo góc thì ta có thể thực hiện bằng cách đo số đo góc rồi chia đôi như phương pháp đã trình bày ở trên.

Vì vậy, trong các bài toán dựng hình cổ điển, cụm từ dùng thước và compa thường được sử dụng thay vì chỉ dùng thước thẳng.

Ví dụ về tia phân giác của một góc

Ví dụ 1

Cho góc xOy có số đo

∠xOy = 100°.

Oz là tia phân giác của góc xOy.

Tính ∠xOz và ∠zOy.

Vì Oz là tia phân giác nên

∠xOz = ∠zOy.

Mà

∠xOz + ∠zOy = 100°.

Do đó

∠xOz = ∠zOy = 50°.

Ví dụ 2

Cho góc ABC bằng 70°. Tia BD là tia phân giác của góc ABC.

Ta có

∠ABD = ∠DBC.

Vì

∠ABC = 70°,

nên

∠ABD = ∠DBC = 35°.

Một số bài tập thường gặp về tia phân giác

Các bài tập về tia phân giác của một góc thường xuất hiện dưới nhiều dạng.

Dạng thứ nhất là tính số đo góc.

Đề bài thường cho số đo của góc lớn và biết một tia là tia phân giác sau đó yêu cầu tính hai góc nhỏ.

Dạng thứ hai là chứng minh một tia là tia phân giác.

Học sinh có thể chứng minh hai góc bằng nhau hay sử dụng tính chất khoảng cách từ một điểm đến hai cạnh của góc.

Dạng thứ ba là dựng tia phân giác.

Trong trường hợp này, học sinh cần nắm chắc cách vẽ tia phân giác bằng compa kết hợp với thước thẳng.

Dạng thứ tư là vận dụng tia phân giác trong tam giác là kiến thức mở rộng liên quan đến đường phân giác và các tỉ lệ giữa các cạnh.

Những lỗi thường gặp khi học tia phân giác

Một lỗi phổ biến là học sinh chỉ nhìn hình vẽ và kết luận một tia là tia phân giác mà chưa có dữ kiện chứng minh.

Trong hình học, hình vẽ chỉ mang tính minh họa. Muốn kết luận một tia là tia phân giác cần có căn cứ như hai góc bằng nhau hoặc điểm trên tia cách đều hai cạnh của góc.

Một lỗi khác là nhầm tia phân giác với đường trung trực hoặc đường trung tuyến là những khái niệm hoàn toàn khác nhau.

Tia phân giác liên quan đến việc chia một góc thành hai góc bằng nhau trong khi đường trung trực liên quan đến đoạn thẳng và đường trung tuyến thường xuất hiện trong tam giác.

Ngoài ra, khi dựng bằng compa, học sinh cần giữ nguyên độ mở khi vẽ hai cung từ A và B. Nếu thay đổi bán kính thì giao điểm tạo ra có thể không nằm trên tia phân giác.

Mẹo ghi nhớ tính chất tia phân giác

Có thể ghi nhớ nhanh như sau

Tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau.

Và

Điểm trên tia phân giác cách đều hai cạnh của góc.

Ngược lại

Điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh thì nằm trên tia phân giác.

Ba ý này giúp học sinh xử lý phần lớn các bài tập cơ bản liên quan đến tia phân giác.

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh với chia góc thành hai góc có số đo bằng nhau là kiến thức cơ bản nhưng có vai trò rất quan trọng trong Hình học.

Khi học nội dung này cần đặc biệt ghi nhớ tính chất tia phân giác của 1 góc mọi điểm trên tia phân giác đều cách đều hai cạnh của góc. Tính chất đảo cũng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán chứng minh.

Về cách vẽ tia phân giác, học sinh có thể dùng thước đo góc nếu biết số đo của góc. Trong các bài dựng hình, cách vẽ tia phân giác bằng compa kết hợp với thước thẳng là phương pháp phổ biến và chính xác nhất.

Riêng với cách vẽ tia phân giác bằng thước thẳng cần lưu ý rằng nếu chỉ dùng thước thẳng không chia vạch thì không thể dựng chính xác tia phân giác của một góc bất kỳ trong trường hợp tổng quát. Vì vậy, việc lựa chọn đúng dụng cụ và nắm chắc các bước dựng sẽ giúp học sinh làm bài nhanh, chính xác và hiểu sâu hơn kiến thức hình học.