Đường Trung Trực – Định Nghĩa, Cách Vẽ, Phương Trình Và Các Tính Chất Quan Trọng

Đường trung trực là một trong những yếu tố quan trọng trong hình học, đặc biệt là trong tam giác. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế. Giúp giải quyết các bài toán về khoảng cách cùng chứng minh hình học và tính chất tam giác.

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về định nghĩa, cách vẽ, cách chứng minh với phương trình và tính chất của đường trung trực.

1. Đường Trung Trực Là Gì

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.

Tính chất quan trọng

• Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
• Trong tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh luôn đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. Cách Vẽ Đường Trung Trực

Để vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng AB

• Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng cách chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
• Dựng một đường thẳng vuông góc với AB tại M. Đường này chính là đường trung trực của AB.

3. Cách Chứng Minh Đường Trung Trực

Có nhiều cách để chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

a) Sử dụng định nghĩa

Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

b) Sử dụng tính chất khoảng cách

Chứng minh một điểm nằm trên đường thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Ví dụ: Nếu P là điểm nằm trên đường trung trực của AB, thì PA = PB.

c) Sử dụng tọa độ và vectơ

Dùng công thức trung điểm và hệ số góc vuông góc để chứng minh đường thẳng có dạng trung trực.

4. Giao Điểm Của Ba Đường Trung Trực

Trong một tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh luôn đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

• Tính chất quan trọng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác.
• Vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp
  • Trong tam giác nhọn, tâm nằm bên trong tam giác.
  • Trong tam giác vuông, tâm nằm trên cạnh huyền.
  • Trong tam giác tù, tâm nằm bên ngoài tam giác.

5. Phương Trình Đường Trung Trực

Để tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB trong hệ tọa độ Oxy, ta làm theo các bước sau

Bước 1: Tìm trung điểm M của đoạn AB

Nếu A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂), trung điểm M có tọa độ

M(xₘ, yₘ) = ((x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2)

Bước 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng AB

Hệ số góc của đường thẳng AB là

k = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) (nếu x₂ ≠ x₁)

Bước 3: Xác định hệ số góc của đường trung trực

Đường trung trực vuông góc với AB, nên hệ số góc của nó là

k’ = -1 / k

Bước 4: Viết phương trình đường trung trực

Dùng phương trình đường thẳng đi qua trung điểm M(xₘ, yₘ) với hệ số góc k’

y – yₘ = k’ (x – xₘ)

Ví dụ

Cho A(2, 3) và B(6, 7), tìm phương trình đường trung trực của AB.

• Trung điểm M của AB: M(4, 5)
• Hệ số góc của AB: k = (7 – 3) / (6 – 2) = 1
• Hệ số góc của đường trung trực: k’ = -1
• Phương trình đường trung trực: y – 5 = -1(x – 4)
  ⇒ y = -x + 9

6. Đường Trung Trực Trong Tam Giác

a) Đường trung trực của tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là đường cao và đường phân giác.

b) Đường trung trực của tam giác đều

Trong tam giác đều, ba đường trung trực cũng là ba đường cao, ba đường phân giác và đồng quy tại trọng tâm, trùng với tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

c) Đường trung trực của một đoạn thẳng

Là đường vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng, cách đều hai đầu mút.

Đường trung trực là một đường thẳng quan trọng trong hình học, có nhiều ứng dụng trong chứng minh hình học rồi cả tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và trong các bài toán tọa độ.

Việc hiểu rõ định nghĩa, cách vẽ cùng cách chứng minh và phương trình đường trung trực sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học từ cơ bản đến nâng cao.