Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng – Công Thức Và Cách Tính

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là một yếu tố quan trọng trong hình học và đại số. Giúp giải quyết các bài toán về vị trí tương đối với hình học không gian và ứng dụng thực tế.

Bài viết này sẽ trình bày khái niệm với công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và không gian Oxyz cũng như cách tính trong trường hợp đặc biệt như đường thẳng song song và đường thẳng chéo nhau.

1. Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng

a) Hai Đường Thẳng Song Song

Nếu hai đường thẳng d₁: Ax + By + C₁ = 0 và d₂: Ax + By + C₂ = 0 có cùng hệ số góc (tức là song song), khoảng cách giữa chúng được tính bằng công thức

d(d₁, d₂) = |C₂ – C₁| / √(A² + B²)

Ví dụ

Cho hai đường thẳng

• d₁: 3x + 4y – 5 = 0
• d₂: 3x + 4y + 7 = 0

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là

d = |7 – (-5)| / √(3² + 4²) = 12 / 5 = 2.4

b) Hai Đường Thẳng Cắt Nhau

Nếu hai đường thẳng cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0 vì chúng có một điểm chung.

2. Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz

Trong không gian, hai đường thẳng có thể

• Song song
• Chéo nhau
• Cắt nhau

a) Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song Trong Oxyz

Hai đường thẳng song song có dạng tham số

d₁: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct

d₂: x = x’₀ + at, y = y’₀ + bt, z = z’₀ + ct

Khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d₁ đến d₂

d(d₁, d₂) = |(x₀ – x’₀)B – (y₀ – y’₀)A + (z₀ – z’₀)C| / √(A² + B² + C²)

b) Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau

Nếu hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài của đường vuông góc chung. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

d(d₁, d₂) = |(P₂ – P₁) • (v₁ × v₂)| / ||v₁ × v₂||

Trong đó

• P₁(x₀, y₀, z₀) và P₂(x’₀, y’₀, z’₀) là hai điểm trên hai đường thẳng.
• v₁(a₁, b₁, c₁) và v₂(a₂, b₂, c₂) là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.
• Dấu “•” là tích vô hướng, “×” là tích có hướng.

Ví dụ

Cho hai đường thẳng

• d₁: x = 1 + 2t, y = 2 – t, z = 3 + 4t
• d₂: x = 3 + s, y = -1 + 2s, z = 4 + 3s

Ta tìm khoảng cách giữa chúng bằng cách tính tích có hướng và độ dài đường vuông góc chung.

3. Cách Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng d₁, d₂

Bước 1: Xác Định Loại Đường Thẳng

• Nếu song song, dùng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
• Nếu chéo nhau, tính tích có hướng và độ dài đường vuông góc chung.

Bước 2: Áp Dụng Công Thức Phù Hợp

• Với đường thẳng song song: d = |C₂ – C₁| / √(A² + B²)
• Với đường thẳng chéo nhau: d = |(P₂ – P₁) • (v₁ × v₂)| / ||v₁ × v₂||

Khoảng cách giữa hai đường thẳng có thể xác định dễ dàng nếu ta phân loại được loại đường thẳng và áp dụng công thức phù hợp. Trong không gian Oxyz, việc tính toán phức tạp hơn nhưng vẫn có thể giải quyết bằng công thức hình học vectơ.

Hiểu rõ các công thức này giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán hình học phẳng và không gian.