Đường Trung Tuyến Trong Tam Giác – Định Nghĩa, Công Thức Và Tính Chất

Trong hình học, đường trung tuyến là một yếu tố quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác. Nó không chỉ có vai trò trong việc xác định trọng tâm tam giác còn giúp tính toán và chứng minh nhiều định lý hình học.

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, công thức, cách vẽ với tính chất của đường trung tuyến trong các loại tam giác và phương pháp chứng minh đường trung tuyến.

1. Đường Trung Tuyến Là Gì

Định nghĩa: Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.

Ký hiệu: Trong tam giác ABC, nếu M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn thẳng AM được gọi là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.

Tam giác có ba đường trung tuyến và chúng đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác.

2. Công Thức Tính Đường Trung Tuyến

Độ dài của đường trung tuyến có thể tính theo công thức sau:

a) Công thức đường trung tuyến trong tam giác thường

Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và đường trung tuyến m ứng với cạnh có độ dài a, ta có công thức

m = 1/2 × √(2b² + 2c² – a²)

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh tam giác
• m là độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh a

Ví dụ: Nếu tam giác có các cạnh a = 10, b = 8, c = 6, thì đường trung tuyến m ứng với cạnh a được tính như sau

m = 1/2 × √(2 × 8² + 2 × 6² – 10²)

= 1/2 × √(128 + 72 – 100)

= 1/2 × √100

= 5

b) Đường trung tuyến trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có tính chất đặc biệt

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền:

Nếu tam giác vuông có cạnh huyền c, thì đường trung tuyến m = c/2.

Ví dụ: Trong tam giác vuông có cạnh huyền c = 10, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là m = 10/2 = 5.

3. Đường Trung Tuyến Trong Các Loại Tam Giác

a) Đường trung tuyến trong tam giác đều

Tam giác đều có ba đường trung tuyến bằng nhau và mỗi đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác.

Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a

m = (a√3) / 2

Ví dụ: Nếu tam giác đều có cạnh a = 6, thì đường trung tuyến là

m = (6√3) / 2 = 3√3

b) Đường trung tuyến trong tam giác cân

Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao và đường phân giác.

Nếu tam giác cân có cạnh đáy là b, hai cạnh bên là a, thì đường trung tuyến m được tính theo công thức

m = 1/2 × √(2a² – b²)

Ví dụ: Tam giác cân có cạnh bên a = 10, cạnh đáy b = 8 thì

m = 1/2 × √(2 × 10² – 8²)

= 1/2 × √(200 – 64)

= 1/2 × √136

≈ 5.83

c) Đường trung tuyến trong tam giác vuông

• Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh góc vuông có thể tính bằng công thức tổng quát.
• Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền luôn bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Trong tam giác vuông có cạnh huyền c = 12, thì đường trung tuyến ứng với cạnh huyền m = 12/2 = 6.

4. Cách Vẽ Đường Trung Tuyến

Để vẽ đường trung tuyến trong tam giác, thực hiện các bước sau

• Xác định trung điểm của cạnh đối diện bằng cách đo và chia cạnh làm hai phần bằng nhau.
• Nối đỉnh của tam giác với trung điểm vừa tìm được.
• Kiểm tra lại bằng cách đo độ dài hai phần của cạnh bị chia, đảm bảo chúng bằng nhau.

Lặp lại quy trình này cho ba đỉnh của tam giác để có ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm.

5. Giao Điểm Của Ba Đường Trung Tuyến – Trọng Tâm

Ba đường trung tuyến trong một tam giác đồng quy tại một điểm duy nhất, gọi là trọng tâm G.

Tính chất của trọng tâm

• Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1, tức là khoảng cách từ trọng tâm đến một đỉnh bằng 2/3 chiều dài đường trung tuyến.
• Trọng tâm là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh của tam giác, nếu tam giác có đỉnh A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), thì tọa độ trọng tâm G là
  G(x, y) = [(x₁ + x₂ + x₃) / 3 , (y₁ + y₂ + y₃) / 3]

6. Cách Chứng Minh Đường Trung Tuyến

Có nhiều cách để chứng minh một đoạn thẳng là đường trung tuyến

a) Sử dụng định nghĩa

• Chứng minh đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.

b) Sử dụng tính chất hình học

• Trong tam giác đều, chứng minh đường trung tuyến cũng là đường cao và đường phân giác.
• Trong tam giác cân, chứng minh đường trung tuyến cũng là đường phân giác và đường cao.

c) Sử dụng tọa độ và vectơ

• Sử dụng công thức trung điểm và trọng tâm để chứng minh đường trung tuyến đi qua điểm này.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(2, 4), B(6, 8), C(10, 2). Trung điểm M của BC là

M = [(6 + 10)/2 , (8 + 2)/2] = (8, 5)

Đường trung tuyến AM đi qua điểm M, có thể chứng minh bằng phương trình đường thẳng.

Đường trung tuyến trong tam giác có vai trò quan trọng trong hình học. Không chỉ giúp tìm trọng tâm, nó còn hỗ trợ giải quyết nhiều bài toán về độ dài với diện tích và chứng minh hình học.

Việc hiểu rõ công thức cùng cách vẽ và chứng minh đường trung tuyến sẽ giúp bạn dễ dàng vận dụng vào các bài toán từ cơ bản đến nâng cao trong hình học phẳng.