Blog
Phương Trình Đường Tròn: Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập
Phương trình đường tròn là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Giúp xác định hình dạng và vị trí của đường tròn trên mặt phẳng tọa độ. Dưới đây là các công thức cùng cách viết phương trình đường tròn và bài tập ứng dụng.
1. Phương Trình Đường Tròn Là Gì
Phương trình đường tròn là phương trình biểu diễn tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách bằng nhau đến một điểm cố định (tâm đường tròn) trên mặt phẳng tọa độ.
Tổng quát, đường tròn có tâm O(xO, yO) và bán kính R được xác định bởi phương trình
(x – xO)² + (y – yO)² = R²
Trong đó
- (xO, yO) là tọa độ tâm đường tròn.
- R là bán kính của đường tròn.
2. Các Dạng Phương Trình Đường Tròn
Dạng 1: Phương Trình Đường Tròn Tâm O(0,0)
Khi tâm O trùng với gốc tọa độ (0,0), phương trình trở thành
x² + y² = R²
Ví dụ: Phương trình x² + y² = 25 biểu diễn đường tròn có tâm O(0,0) và bán kính R = 5.
Dạng 2: Phương Trình Đường Tròn Có Tâm O(xO, yO) và Bán Kính R
(x – xO)² + (y – yO)² = R²
Ví dụ: Đường tròn có tâm O(2, -3) và bán kính 4 có phương trình
(x – 2)² + (y + 3)² = 16
Dạng 3: Phương Trình Đường Tròn Khi Biết Dạng Tổng Quát
Một phương trình đường tròn có thể được viết dưới dạng
x² + y² + Ax + By + C = 0
Cách đưa về dạng chuẩn
- Nhóm x và y lại với nhau: (x² + Ax) + (y² + By) = -C.
- Dùng phương pháp bình phương hai vế để đưa về dạng chuẩn.
Ví dụ: Cho phương trình x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0, ta xác định tâm và bán kính
Nhóm x và y
(x² – 4x) + (y² + 6y) = 3
Thêm và bớt số để hoàn chỉnh bình phương
(x – 2)² – 4 + (y + 3)² – 9 = 3
Chuyển về dạng chuẩn
(x – 2)² + (y + 3)² = 16
Vậy đường tròn có tâm O(2, -3) và bán kính R = 4.
3. Viết Phương Trình Đường Tròn Đi Qua 3 Điểm
Cho ba điểm A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), phương trình đường tròn có dạng
x² + y² + Ax + By + C = 0
Thay tọa độ ba điểm vào phương trình trên để lập hệ ba phương trình, từ đó giải tìm A, B, C.
Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2), B(4, 3), C(3, -1). Thay vào phương trình
1 + 4 + A(1) + B(2) + C = 0
16 + 9 + A(4) + B(3) + C = 0
9 + 1 + A(3) + B(-1) + C = 0
Giải hệ này ta tìm được A, B, C và viết phương trình đường tròn.
4. Phương Trình Nửa Đường Tròn
Nửa đường tròn được xác định bằng phương trình đường tròn kết hợp với điều kiện của y.
Ví dụ
- Nửa đường tròn trên (y ≥ 0): x² + y² = R², y ≥ 0.
- Nửa đường tròn dưới (y ≤ 0): x² + y² = R², y ≤ 0.
Ví dụ: Nửa đường tròn trên của đường tròn x² + y² = 9 có phương trình
y = √(9 – x²), y ≥ 0
5. Bài Tập Phương Trình Đường Tròn
Bài 1: Viết phương trình đường tròn có tâm O(3, -2) và bán kính 5.
Giải
(x – 3)² + (y + 2)² = 25
Bài 2: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1,1), B(4,2), C(3,-2).
Giải
- Thay tọa độ vào phương trình tổng quát x² + y² + Ax + By + C = 0.
- Giải hệ phương trình tìm A, B, C.
Phương trình đường tròn là một phần quan trọng trong toán học giúp xác định vị trí và kích thước của đường tròn trên mặt phẳng. Nắm vững các công thức và phương pháp tính toán sẽ giúp giải quyết các bài toán hình học tọa độ nhanh chóng và chính xác.
