Blog
Tứ phân vị là gì? Cách tìm Q1, Q2, Q3 và tính khoảng tứ phân vị
Trong thống kê, tứ phân vị là công cụ quan trọng giúp mô tả sự phân bố của một tập dữ liệu. Thay vì chỉ dựa vào số trung bình, người học có thể sử dụng các tứ phân vị nhằm xác định vị trí của dữ liệu, mức độ phân tán cả phát hiện những giá trị nằm quá xa phần lớn quan sát.
Vậy tứ phân vị là gì, khoảng tứ phân vị là gì, cách tìm tứ phân vị như thế nào và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được tính ra sao? Bài viết dưới đây sẽ giải thích lần lượt từ Q1, Q2, Q3 đến công thức tính khoảng tứ phân vị.
Tứ phân vị là gì?
Tứ phân vị là gì? Tứ phân vị là các giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự thành bốn phần.
Ba giá trị tứ phân vị chính là
- Q1 tứ phân vị thứ nhất.
- Q2 tứ phân vị thứ hai.
- Q3 tứ phân vị thứ ba.
Ba giá trị này chia dữ liệu thành bốn khu vực mà mỗi khu vực chứa xấp xỉ 25% số quan sát.
Có thể hình dung
25% dữ liệu → Q1 → 25% dữ liệu → Q2 → 25% dữ liệu → Q3 → 25% dữ liệu.
Tứ phân vị được sử dụng nhiều trong thống kê mô tả, biểu đồ hộp với phân tích mức độ phân tán của dữ liệu.
Tứ phân vị thứ nhất là gì?
Tứ phân vị thứ nhất là gì? Q1 là giá trị mà khoảng 25% số liệu nằm ở phía dưới hoặc bằng nó.
Nói cách khác, Q1 đại diện cho mốc 25% của tập dữ liệu đã sắp xếp.
Ví dụ có dãy
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Trung vị của toàn bộ dãy là 8.
Nửa dưới gồm
2, 4, 6
Trung vị của nửa dưới là
Q1 = 4.
Như vậy khoảng một phần tư dữ liệu nằm ở phía dưới Q1.
Tứ phân vị thứ 2 là gì?
Tứ phân vị thứ 2 ký hiệu Q2 chính là trung vị của tập dữ liệu.
Q2 chia dữ liệu thành hai nửa
- Khoảng 50% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q2.
- Khoảng 50% số liệu lớn hơn hoặc bằng Q2.
Ví dụ
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Giá trị đứng giữa là
Q2 = 8.
Trong thống kê, Q2 cũng chính là phân vị thứ 50.
Tứ phân vị thứ 3 là gì?
Tứ phân vị thứ 3 ký hiệu Q3 là mốc mà khoảng 75% số liệu nằm ở phía dưới hoặc bằng nó.
Nói cách khác, Q3 tương ứng với phân vị thứ 75.
Với dãy
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
Nửa trên gồm
10, 12, 14.
Trung vị của nhóm này là
Q3 = 12.
Như vậy
Q1 = 4
Q2 = 8
Q3 = 12.
Cách tìm tứ phân vị
Cách tìm tứ phân vị trước tiên cần sắp xếp toàn bộ số liệu theo thứ tự tăng dần.
Sau đó thực hiện theo các bước
Bước 1 Tìm Q2
Q2 là trung vị của toàn bộ mẫu số liệu.
Nếu số phần tử là số lẻ, trung vị là phần tử đứng giữa.
Nếu số phần tử là số chẵn, trung vị thường được tính bằng trung bình cộng của hai phần tử đứng giữa.
Bước 2 Tìm Q1
Lấy nửa dưới của mẫu số liệu rồi tìm trung vị của phần này.
Giá trị thu được là Q1.
Bước 3 Tìm Q3
Lấy nửa trên của mẫu số liệu rồi tìm trung vị.
Giá trị thu được là Q3.
Cần lưu ý rằng một số tài liệu hoặc phần mềm thống kê có thể sử dụng quy ước nội suy khác nhau khi xác định tứ phân vị. Vì vậy với các bài học phổ thông nên áp dụng đúng phương pháp được quy định trong chương trình hoặc đề bài.
Ví dụ cách tìm Q1, Q2, Q3
Cho mẫu số liệu
3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18
Mẫu có 8 giá trị.
Tìm Q2
Hai giá trị giữa là
8 và 10.
Do đó
Q2 = (8 + 10) / 2 = 9.
Tìm Q1
Nửa dưới
3, 5, 7, 8.
Hai giá trị giữa là 5 và 7.
Q1 = (5 + 7) / 2 = 6.
Tìm Q3
Nửa trên
10, 12, 15, 18.
Hai giá trị giữa là 12 và 15.
Q3 = (12 + 15) / 2 = 13,5.
Vậy
Q1 = 6
Q2 = 9
Q3 = 13,5.
Khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng tứ phân vị là gì? Khoảng tứ phân vị thường ký hiệu là IQR là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất.
IQR là viết tắt của
Interquartile Range.
Khoảng này phản ánh độ phân tán của 50% dữ liệu nằm ở khu vực trung tâm.
Nói cách khác thay vì xem xét toàn bộ từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất, IQR chỉ tập trung vào phần giữa của dữ liệu.
Công thức tính khoảng tứ phân vị
Công thức tính khoảng tứ phân vị rất đơn giản
IQR = Q3 – Q1
Trong đó
- Q1 là tứ phân vị thứ nhất.
- Q3 là tứ phân vị thứ ba.
Ví dụ
Q1 = 6
Q3 = 13,5
Ta có
IQR = 13,5 – 6 = 7,5.
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là
7,5.
Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị giúp đánh giá mức độ phân tán của phần lớn dữ liệu trung tâm.
Nếu IQR nhỏ, 50% dữ liệu giữa tập trung tương đối gần nhau.
Nếu IQR lớn, dữ liệu ở khu vực giữa phân tán rộng hơn.
Một ưu điểm của khoảng tứ phân vị là ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá nhỏ so với khoảng biến thiên thông thường.
Ví dụ
2, 3, 4, 5, 6, 7, 100
Giá trị 100 làm khoảng biến thiên rất lớn nhưng ảnh hưởng đến IQR thường nhỏ hơn vì IQR chủ yếu dựa vào Q1 và Q3.
Tứ phân vị và giá trị ngoại lệ
Khoảng tứ phân vị còn thường được sử dụng để hỗ trợ nhận biết giá trị ngoại lệ.
Một quy tắc phổ biến là xác định hai ngưỡng
Ngưỡng dưới
Q1 – 1,5 × IQR
Ngưỡng trên
Q3 + 1,5 × IQR.
Những giá trị nằm ngoài hai ngưỡng thường được xem là ứng viên ngoại lệ trong biểu đồ hộp.
Ví dụ
Q1 = 10
Q3 = 20
IQR = 20 – 10 = 10.
Ngưỡng dưới
10 – 1,5 × 10 = -5.
Ngưỡng trên
20 + 1,5 × 10 = 35.
Những giá trị nhỏ hơn -5 hoặc lớn hơn 35 có thể được xem là ngoại lệ theo quy tắc này.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cũng được tính bằng
IQR = Q3 – Q1.
Tuy nhiên cách xác định Q1 và Q3 khác so với dữ liệu không ghép nhóm.
Với mẫu số liệu ghép nhóm, các giá trị được chia thành từng lớp chẳng hạn
[0;10)
[10;20)
[20;30)
[30;40)
Ta thường không biết chính xác từng quan sát trong mỗi lớp, vì vậy Q1 và Q3 được ước lượng bằng phương pháp nội suy.
Cách tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Một công thức thường dùng là
Qk = L + [(kn/4 – F) / f] × h
Trong đó
- Qk là tứ phân vị cần tìm với k = 1 hoặc 3.
- L là cận dưới của lớp chứa tứ phân vị.
- n là tổng số quan sát.
- F là tần số tích lũy trước lớp chứa tứ phân vị.
- f là tần số của lớp chứa tứ phân vị.
- h là độ rộng của lớp.
Để tìm Q1 xác định vị trí
n/4.
Để tìm Q2 xác định vị trí
n/2.
Để tìm Q3 xác định vị trí
3n/4.
Sau khi xác định lớp chứa vị trí tương ứng, áp dụng công thức nội suy.
Ví dụ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Giả sử có bảng
| Khoảng | Tần số |
|---|---|
| [0;10) | 5 |
| [10;20) | 10 |
| [20;30) | 20 |
| [30;40) | 5 |
Tổng số quan sát
n = 40.
Vị trí Q1
n/4 = 10.
Vị trí Q3
3n/4 = 30.
Ta cần dựa vào tần số tích lũy để xác định lớp chứa Q1 và Q3 sau đó áp dụng công thức nội suy.
Cách làm này cho kết quả ước lượng vì dữ liệu đã được ghép thành khoảng chứ không còn giữ nguyên từng giá trị ban đầu.
Sự khác nhau giữa khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên được tính bằng
Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.
Trong khi đó
Khoảng tứ phân vị = Q3 – Q1.
Khoảng biến thiên sử dụng hai giá trị ở hai đầu của dữ liệu nên dễ bị ảnh hưởng bởi ngoại lệ.
Khoảng tứ phân vị chỉ xét 50% dữ liệu trung tâm nên ổn định hơn khi mẫu xuất hiện một số giá trị đặc biệt lớn hoặc nhỏ.
Những lỗi thường gặp khi tính tứ phân vị
Một số lỗi phổ biến gồm
- Chưa sắp xếp dữ liệu trước khi tìm Q1, Q2, Q3.
- Nhầm Q2 với giá trị trung bình.
- Nhầm Q1 là giá trị nhỏ nhất.
- Tính IQR bằng Q3 + Q1 thay vì Q3 – Q1.
- Xác định sai lớp chứa tứ phân vị trong bảng ghép nhóm.
- Quên sử dụng tần số tích lũy.
- Áp dụng quy ước tứ phân vị khác với yêu cầu của đề bài.
Trong đó cần nhớ
Q2 là trung vị chứ không phải trung bình cộng của toàn bộ dữ liệu.
Bài tập tứ phân vị đơn giản
Cho dữ liệu
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Hãy tìm Q1, Q2, Q3 và khoảng tứ phân vị.
Ta có
Q2 = 7.
Nửa dưới
1, 3, 5
nên
Q1 = 3.
Nửa trên
9, 11, 13
nên
Q3 = 11.
Khoảng tứ phân vị
IQR = 11 – 3 = 8.
Vậy
Q1 = 3
Q2 = 7
Q3 = 11
IQR = 8.
Tứ phân vị là gì? Đây là ba giá trị Q1, Q2 và Q3 dùng để chia một mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 đại diện cho mốc khoảng 25% dữ liệu. Tứ phân vị thứ 2 Q2 chính là trung vị tương ứng với mốc 50%. Tứ phân vị thứ 3 Q3 tương ứng với khoảng 75% dữ liệu.
Để biết khoảng tứ phân vị là gì thì chỉ cần nhớ là khoảng giữa Q1 và Q3. Công thức tính khoảng tứ phân vị là
IQR = Q3 – Q1.
Đối với dữ liệu thông thường, cách tìm tứ phân vị là sắp xếp số liệu rồi xác định trung vị của toàn bộ mẫu và hai nửa dữ liệu. Với khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, Q1 và Q3 thường được ước lượng bằng công thức nội suy dựa trên tần số tích lũy.
