Blog
Điểm phân biệt là gì? Hai điểm phân biệt và 3 điểm phân biệt trong Toán học
Trong các bài toán hình học, đại số hay tọa độ, chúng ta thường bắt gặp những cụm từ như điểm phân biệt, hai điểm phân biệt hoặc 3 điểm phân biệt là những khái niệm khá đơn giản nhưng có vai trò quan trọng trong việc hiểu chính xác giả thiết của bài toán. Nếu nhầm lẫn giữa các điểm phân biệt và các điểm trùng nhau, người học có thể đưa ra kết luận sai hay áp dụng công thức không phù hợp. Vậy điểm phân biệt là gì, hai điểm phân biệt là gì và 3 điểm phân biệt được hiểu như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết.
Điểm phân biệt là gì?
Trong Toán học, điểm phân biệt là những điểm không trùng nhau. Nói cách khác rằng hai điểm được gọi là phân biệt nếu chúng có vị trí khác nhau.
Ví dụ, cho hai điểm A và B. Nếu A và B nằm ở hai vị trí khác nhau thì có thể viết
A ≠ B
Khi đó, A và B là hai điểm phân biệt.
Ngược lại, nếu A và B cùng biểu diễn một vị trí thì A và B trùng nhau không được xem là hai điểm phân biệt.
Khái niệm này tưởng chừng đơn giản nhưng xuất hiện rất thường xuyên trong các bài toán về đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn và hệ tọa độ.
Hai điểm phân biệt là gì?
Hai điểm phân biệt là hai điểm nằm ở hai vị trí khác nhau.
Giả sử có hai điểm A và B. Nếu A không trùng với B thì A và B là hai điểm phân biệt.
Ví dụ trên một đường thẳng, ta chọn điểm A ở vị trí thứ nhất và điểm B ở một vị trí khác. Khi đó có thể xác định được đoạn thẳng AB.
Một tính chất hình học rất quan trọng là
Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng.
Điều kiện phân biệt ở đây rất cần thiết. Nếu hai điểm trùng nhau thì thực chất chỉ có một điểm cả có vô số đường thẳng đi qua điểm đó.
Vì vậy khi gặp câu cho hai điểm phân biệt A và B người học cần hiểu ngay rằng A và B không trùng nhau.
Ví dụ về hai điểm phân biệt trong hệ tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai điểm được xem là phân biệt nếu chúng không có đồng thời cả hoành độ và tung độ giống nhau.
Ví dụ
A(1; 2) và B(3; 4)
là hai điểm phân biệt vì tọa độ của chúng khác nhau.
A(1; 2) và C(1; 5) cũng là hai điểm phân biệt. Mặc dù có cùng hoành độ bằng 1 nhưng tung độ khác nhau.
Trong khi đó
A(1; 2) và D(1; 2)
là hai cách gọi của cùng một vị trí nên không phải hai điểm phân biệt.
Như vậy, để hai điểm tọa độ trùng nhau, cả hoành độ lẫn tung độ của chúng đều phải bằng nhau.
3 điểm phân biệt là gì?
3 điểm phân biệt là ba điểm đôi một không trùng nhau.
Giả sử có ba điểm A, B và C. Ba điểm này được gọi là phân biệt khi
- A không trùng B.
- B không trùng C.
- A không trùng C.
Có thể biểu diễn ngắn gọn là
A ≠ B, B ≠ C và A ≠ C.
Tuy nhiên cần đặc biệt lưu ý rằng 3 điểm phân biệt không đồng nghĩa với 3 điểm không thẳng hàng.
Đây là lỗi khá phổ biến khi học hình học.
Phân biệt 3 điểm phân biệt và 3 điểm không thẳng hàng
Ba điểm A, B, C có thể phân biệt nhưng vẫn cùng nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ
A —— B —— C
Trong trường hợp này, A, B và C là ba điểm khác nhau nên chúng là 3 điểm phân biệt. Tuy nhiên cả ba lại nằm trên cùng một đường thẳng nên được gọi là ba điểm thẳng hàng.
Ngược lại, nếu ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng thì chúng là ba điểm không thẳng hàng.
Ba điểm không thẳng hàng chắc chắn phải là ba điểm phân biệt.
Đặc biệt, một tính chất rất quan trọng là
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Trong hình học phẳng, ba điểm không thẳng hàng cũng có thể xác định một tam giác.
3 điểm phân biệt có luôn tạo thành tam giác không?
Không.
Để ba điểm tạo thành một tam giác, ngoài việc phải là 3 điểm phân biệt, chúng còn phải không thẳng hàng.
Ví dụ, cho ba điểm A, B, C phân biệt.
Nếu A, B, C không thẳng hàng thì nối ba điểm lại ta được tam giác ABC.
Nhưng nếu A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng thì không thể tạo thành một tam giác.
Do đó
Ba điểm không thẳng hàng → tạo được tam giác.
Trong khi
Ba điểm phân biệt → chưa chắc tạo được tam giác.
Đây là một điểm cần chú ý trong các bài toán hình học cơ bản.
Điểm phân biệt trong bài toán đường thẳng
Khái niệm điểm phân biệt là gì thường được sử dụng khi nói về cách xác định đường thẳng.
Một trong những tiên đề hình học cơ bản là qua hai điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng.
Ví dụ, với hai điểm A và B phân biệt, đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng AB.
Nếu thêm một điểm C phân biệt với A và B, sẽ có hai trường hợp.
Trường hợp thứ nhất, C nằm trên đường thẳng AB. Khi đó A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng.
Trường hợp thứ hai, C không nằm trên đường thẳng AB. Khi đó A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Từ đây có thể xây dựng các hình học phức tạp hơn như tam giác, đường tròn hay đa giác.
Điểm phân biệt trong bài toán đường tròn
Khái niệm điểm phân biệt cũng thường xuất hiện trong hình học đường tròn.
Một tính chất quen thuộc là
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có một và chỉ một đường tròn.
Ba điểm đó nằm trên đường tròn cả xác định đường tròn duy nhất.
Tuy nhiên nếu chỉ nói ba điểm phân biệt thì chưa đủ bởi ba điểm phân biệt vẫn có thể thẳng hàng, trong khi không tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng khác nhau.
Do đó, khi đọc giả thiết bài toán, cần chú ý đầy đủ các điều kiện đi kèm.
Điểm phân biệt trong phương trình và đồ thị
Khái niệm này không chỉ xuất hiện trong hình học mà còn thường gặp trong đại số.
Ví dụ, đề bài có thể yêu cầu
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.
Điều này có nghĩa đồ thị phải có hai giao điểm khác nhau với trục Ox.
Nếu xét phương trình bậc hai
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
để đồ thị hàm số tương ứng cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt thì phương trình phải có hai nghiệm thực phân biệt.
Điều kiện quen thuộc là
Δ > 0
Nếu Δ = 0, phương trình chỉ có nghiệm kép và đồ thị tiếp xúc trục Ox tại một điểm chứ không phải hai điểm phân biệt.
Như vậy phân biệt trong trường hợp này vẫn mang ý nghĩa cơ bản là khác nhau.
Hai nghiệm phân biệt và hai điểm phân biệt có liên quan thế nào?
Trong nhiều bài toán hàm số, hai khái niệm có mối liên hệ trực tiếp.
Giả sử phương trình
f(x) = 0
có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
Khi đó đồ thị y = f(x) có thể cắt trục Ox tại hai điểm
A(x₁; 0) và B(x₂; 0).
Vì x₁ ≠ x₂ nên A và B là hai điểm phân biệt.
Đây là lý do cụm từ cắt tại hai điểm phân biệt xuất hiện rất thường xuyên trong các bài toán về phương trình, parabol và đồ thị hàm số.
Cách nhận biết các điểm có phân biệt hay không
Trong hình học thuần túy, nếu đề bài nói rõ A, B là hai điểm phân biệt thì chỉ cần hiểu A và B không trùng nhau.
Trong hình học tọa độ có thể dựa vào tọa độ.
Hai điểm
A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂)
trùng nhau khi
x₁ = x₂ và y₁ = y₂.
Ngược lại chỉ cần ít nhất một tọa độ khác nhau thì hai điểm là phân biệt.
Ví dụ
A(2; 3) và B(2; 4) là hai điểm phân biệt vì tung độ khác nhau.
Một số nhầm lẫn thường gặp về điểm phân biệt
Sai lầm đầu tiên là cho rằng hai điểm có cùng hoành độ thì trùng nhau.
Điều này không đúng. Hai điểm chỉ trùng nhau khi cả hoành độ và tung độ đều giống nhau.
Sai lầm thứ hai là cho rằng 3 điểm phân biệt chắc chắn không thẳng hàng.
Ba điểm hoàn toàn có thể khác nhau nhưng cùng thuộc một đường thẳng.
Sai lầm thứ ba là nhầm hai điểm phân biệt với hai điểm nằm trên hai đường thẳng khác nhau. Hai điểm phân biệt vẫn có thể cùng nằm trên một đường thẳng.
Do đó cần hiểu đúng bản chất từ phân biệt chỉ khẳng định các điểm không trùng vị trí với nhau.
Mẹo ghi nhớ điểm phân biệt
Có thể ghi nhớ rất đơn giản
Phân biệt = không trùng nhau.
Từ đó
- Hai điểm phân biệt = hai điểm khác vị trí.
- 3 điểm phân biệt = ba điểm đôi một khác nhau.
- Ba điểm phân biệt chưa chắc không thẳng hàng.
- Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
- Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một tam giác và một đường tròn duy nhất đi qua chúng.
Nắm được những nguyên tắc sẽ giúp xử lý phần lớn bài tập cơ bản liên quan đến điểm phân biệt.
Hiểu điểm phân biệt là gì là kiến thức nền tảng khi học Toán đặc biệt trong hình học và đại số tọa độ. Điểm phân biệt đơn giản là những điểm không trùng nhau về vị trí.
Hai điểm phân biệt là gì? Đó là hai điểm khác nhau và qua hai điểm này có thể xác định duy nhất một đường thẳng. Trong khi đó 3 điểm phân biệt là ba điểm đôi một không trùng nhau nhưng chúng vẫn có thể thẳng hàng.
