Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng – Công Thức và Cách Xác Định

Trong hình học không gian góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là một khái niệm quan trọng, thường gặp trong các bài toán về tọa độ không gian. Việc hiểu rõ cách tính góc này giúp ích trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc với kỹ thuật và đồ họa 3D.

1. Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Là Gì

Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng.

• Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng, góc giữa chúng là 0°.
• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa chúng là 90°.
• Trong các trường hợp khác, góc này nằm trong khoảng 0° < θ ≤ 90°.

2. Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương v(a, b, c) và mặt phẳng P có phương trình tổng quát

Ax + By + Cz + D = 0

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n(A, B, C).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính qua công thức

sin(θ) = |(aA + bB + cC) / (√(a² + b² + c²) × √(A² + B² + C²))|

Sau khi tính sin(θ), dùng arcsin để tìm góc θ.

3. Ví Dụ Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Ví dụ 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oxyz

Cho đường thẳng d có phương trình tham số

• x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 4 – t

Mặt phẳng P có phương trình

• 2x – y + 3z – 5 = 0

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Từ phương trình tham số, ta có vectơ chỉ phương của d

v(2, 3, -1)

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Từ phương trình mặt phẳng, vectơ pháp tuyến là

n(2, -1, 3)

Bước 3: Tính sin(θ)

Tính tích vô hướng

v . n = (2)(2) + (3)(-1) + (-1)(3) = 4 – 3 – 3 = -2

Tính độ dài các vectơ

|v| = √(2² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14

|n| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14

Tính sin(θ)

sin(θ) = |-2 / (√14 × √14)| = |-2 / 14| = 1/7

Suy ra: θ = arcsin(1/7) ≈ 8.21°

4. Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Một đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng P nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong P.

Điều kiện cần và đủ

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng d tỷ lệ với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P tức là

v = k.n với k là một số thực.

Ví dụ

Cho đường thẳng d có phương trình

• x = 2t, y = -t, z = 3t

Mặt phẳng P có phương trình

• 2x – y + 3z – 5 = 0

Vectơ chỉ phương của d: v(2, -1, 3)

Vectơ pháp tuyến của P: n(2, -1, 3)

Vì v = n, suy ra d vuông góc với P.

5. Ứng Dụng Trong Thực Tế

• Trong kiến trúc góc giữa cột trụ và sàn nhà là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Trong đồ họa 3D thì việc tính toán góc giữa camera và mặt phẳng giúp điều chỉnh góc nhìn phù hợp.
• Trong kỹ thuật cơ khí các chi tiết máy phải được lắp đúng góc để đảm bảo tính chính xác và ổn định.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định qua vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Công thức sin(θ) giúp tính toán chính xác góc này.

Nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng tỷ lệ với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Việc nắm vững kiến thức này giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học không gian và ứng dụng trong thực tế.