Góc Giữa Hai Đường Thẳng và Cách Xác Định

Góc giữa hai đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng và hình học không gian. Việc hiểu rõ cách xác định góc này giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán từ hình học, đại số đến ứng dụng thực tế như kỹ thuật cùng kiến trúc và cơ khí.

1. Góc Giữa Hai Đường Thẳng Là Gì

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất được tạo bởi hai đường thẳng đó khi chúng cắt nhau. Giá trị của góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.

Trường hợp đặc biệt

• Nếu hai đường thẳng vuông góc, góc giữa chúng là 90°.
• Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng là 0°.

2. Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng

Trong hệ tọa độ Descartes, giả sử hai đường thẳng có phương trình

• d₁: y = m₁x + c₁
• d₂: y = m₂x + c₂

Góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức

tan(θ) = |(m₂ – m₁) / (1 + m₁.m₂)|

Với

• m₁, m₂ là hệ số góc của hai đường thẳng.
• θ là góc giữa hai đường thẳng (0° ≤ θ ≤ 90°).
• Dùng arctan để tính góc θ từ giá trị tan(θ).

Ví dụ

Cho hai đường thẳng có phương trình

• d₁: y = 2x + 3 (hệ số góc m₁ = 2)
• d₂: y = -0.5x + 1 (hệ số góc m₂ = -0.5)

Áp dụng công thức

tan(θ) = |(-0.5 – 2) / (1 + (-0.5)(2))| = |-2.5 / (1 – 1)|

Do mẫu số bằng 0, tan(θ) không xác định, nghĩa là hai đường thẳng này vuông góc (θ = 90°).

3. Hai Đường Thẳng Vuông Góc

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu tích hệ số góc của chúng bằng -1

m₁ . m₂ = -1

Ví dụ

• d₁: y = 2x + 1 (m₁ = 2)
• d₂: y = -0.5x + 4 (m₂ = -0.5)

Tích m₁ . m₂ = 2 × (-0.5) = -1 → Hai đường thẳng vuông góc.

4. Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian

Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Giả sử hai đường thẳng có vectơ chỉ phương

• d₁ có vectơ chỉ phương v₁(u₁, v₁, w₁)
• d₂ có vectơ chỉ phương v₂(u₂, v₂, w₂)

Góc θ giữa chúng được xác định bằng công thức

cos(θ) = (u₁.u₂ + v₁.v₂ + w₁.w₂) / (√(u₁² + v₁² + w₁²) × √(u₂² + v₂² + w₂²))

Sau khi tính cos(θ), dùng arccos để tìm góc θ.

5. Ví Dụ Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian

Ví dụ 1

Cho hai đường thẳng có phương trình tham số

• d₁: x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 3 – t
• d₂: x = 4 – s, y = 5 + s, z = 6 + 2s

Ta có

• Vectơ chỉ phương của d₁: v₁(1, 2, -1)
• Vectơ chỉ phương của d₂: v₂(-1, 1, 2)

Tích vô hướng

v₁ . v₂ = (1)(-1) + (2)(1) + (-1)(2) = -1 + 2 – 2 = -1

Độ dài của các vectơ

• |v₁| = √(1² + 2² + (-1)²) = √(1 + 4 + 1) = √6
• |v₂| = √((-1)² + 1² + 2²) = √(1 + 1 + 4) = √6

cos(θ) = (-1) / (√6 × √6) = -1/6

Suy ra: θ = arccos(-1/6) ≈ 99,59°

Trong mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng được tính qua công thức liên quan đến hệ số góc. Nếu tích hai hệ số góc bằng -1, hai đường thẳng vuông góc.

Trong không gian, góc giữa hai đường thẳng được xác định thông qua tích vô hướng của vectơ chỉ phương.

Việc tính toán góc giữa hai đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ thiết kế kiến trúc, cơ khí đến đồ họa máy tính