Blog
Đạo Hàm Phân Số Là Gì? Công Thức Và Cách Tính Đạo Hàm Phân Số Bậc 2
Trong chương trình Toán học, đạo hàm là một trong những kiến thức quan trọng giúp nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, tìm cực trị, tiếp tuyến cả giải nhiều bài toán thực tế. Trong đó, đạo hàm phân số là dạng bài thường gặp khi hàm số được biểu diễn dưới dạng thương của hai biểu thức. Bên cạnh đạo hàm cấp một, học sinh cũng cần biết cách tính đạo hàm phân số bậc 2 để giải quyết các bài toán liên quan đến độ cong, cực trị và khảo sát hàm số. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp công thức và hướng dẫn cách tính từng bước.
Đạo hàm phân số là gì?
Trong cách gọi thông dụng ở chương trình phổ thông, đạo hàm phân số thường được hiểu là đạo hàm của một hàm số có dạng phân thức
y = u(x)/v(x)
Trong đó
- u(x) là tử số.
- v(x) là mẫu số.
- v(x) ≠ 0.
Để tìm đạo hàm của hàm phân thức ta sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương.
Nếu
y = u/v
thì
y’ = (u’v – uv’)/v²
Đây là công thức quan trọng nhất cần ghi nhớ khi tính đạo hàm của các hàm phân thức.
Có thể ghi nhớ bằng câu
Đạo hàm tử nhân mẫu, trừ tử nhân đạo hàm mẫu, tất cả chia cho mẫu bình phương.
Công thức đạo hàm phân số
Với hàm số
f(x) = u(x)/v(x)
ta có
f'(x) = [u'(x)v(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²
Điều kiện
v(x) ≠ 0.
Trong đó
- u'(x) là đạo hàm của tử.
- v'(x) là đạo hàm của mẫu.
Khi làm bài, học sinh nên tính riêng u’, v’ rồi mới thay vào công thức để hạn chế nhầm dấu.
Ví dụ đạo hàm phân số đơn giản
Cho hàm số
y = (x + 1)/(x – 2)
Ta có
u = x + 1
u’ = 1
v = x – 2
v’ = 1
Áp dụng công thức
y’ = [1(x – 2) – (x + 1)1]/(x – 2)²
Rút gọn
y’ = (x – 2 – x – 1)/(x – 2)²
y’ = -3/(x – 2)²
Vậy
y’ = -3/(x – 2)²
với x ≠ 2.
Cách tính đạo hàm phân số từng bước
Để tránh sai sót có thể thực hiện theo 4 bước.
Bước 1 Xác định tử và mẫu
Viết hàm số dưới dạng
y = u/v
Sau đó xác định rõ u và v.
Bước 2 Tính đạo hàm tử và mẫu
Tìm
u’
v’
Bước 3 Áp dụng công thức đạo hàm thương
Sử dụng
y’ = (u’v – uv’)/v²
Đặc biệt chú ý dấu trừ giữa hai tích.
Bước 4 Rút gọn kết quả
Khai triển tử số nếu cần sau đó thu gọn biểu thức để có dạng đơn giản nhất.
Ví dụ đạo hàm phân số có đa thức
Cho
y = (x² + 2x)/(x + 1)
Ta có
u = x² + 2x
u’ = 2x + 2
v = x + 1
v’ = 1
Áp dụng công thức
y’ = [(2x + 2)(x + 1) – (x² + 2x)]/(x + 1)²
Khai triển
(2x + 2)(x + 1) = 2x² + 4x + 2
Do đó
y’ = (2x² + 4x + 2 – x² – 2x)/(x + 1)²
Suy ra
y’ = (x² + 2x + 2)/(x + 1)²
với x ≠ -1.
Đạo hàm phân số bậc 2 là gì?
Đạo hàm phân số bậc 2 là đạo hàm lần thứ hai của một hàm phân thức.
Nếu hàm số là
y = f(x)
thì
- Đạo hàm cấp một là y’ = f'(x).
- Đạo hàm cấp hai là y” = f”(x).
Muốn tìm đạo hàm bậc 2, trước tiên cần tính y’ sau đó tiếp tục lấy đạo hàm của y’.
Nói cách khác
y” = (y’)’
Đạo hàm bậc hai thường được sử dụng trong các bài toán nghiên cứu tính lồi, lõm của đồ thị hay xác định một số tính chất của hàm số.
Cách tính đạo hàm phân số bậc 2
Xét hàm
y = (x + 1)/(x – 2)
Ở trên ta đã tính được
y’ = -3/(x – 2)²
Có thể viết lại
y’ = -3(x – 2)^(-2)
Tiếp tục lấy đạo hàm
y” = -3 × (-2)(x – 2)^(-3)
Suy ra
y” = 6(x – 2)^(-3)
Hay
y” = 6/(x – 2)³
Đây chính là đạo hàm bậc hai của hàm số ban đầu.
Ví dụ tính đạo hàm phân số bậc 2
Cho hàm số
y = 1/x
Điều kiện
x ≠ 0.
Viết dưới dạng lũy thừa
y = x^(-1)
Đạo hàm cấp một
y’ = -x^(-2)
Hay
y’ = -1/x²
Tiếp tục lấy đạo hàm
y” = 2x^(-3)
Vậy
y” = 2/x³
Đây là một ví dụ đơn giản giúp hiểu rõ cách tính đạo hàm phân số bậc 2.
Một số dạng đạo hàm phân số thường gặp
Dạng 1 Tử số là hằng số
Cho
y = a/u(x)
Có thể viết thành
y = a[u(x)]^(-1)
Khi đó
y’ = -a.u'(x)/[u(x)]²
Ví dụ
y = 3/(2x + 1)
Ta có
y’ = -6/(2x + 1)²
Dạng 2 Phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Dạng tổng quát
y = (ax + b)/(cx + d)
Áp dụng công thức đạo hàm thương
y’ = [a(cx + d) – c(ax + b)]/(cx + d)²
Rút gọn tử số
y’ = (ad – bc)/(cx + d)²
Đây là công thức rất hữu ích khi khảo sát hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Dạng 3 Tử hoặc mẫu chứa hàm hợp
Ví dụ
y = (x² + 1)/(x³ + 2)
Ta phải tính
u’ = 2x
v’ = 3x²
Sau đó áp dụng quy tắc thương như thông thường.
Có thể biến đổi trước khi lấy đạo hàm không?
Trong nhiều bài toán, biến đổi hàm số trước khi lấy đạo hàm sẽ giúp tính nhanh hơn.
Ví dụ
y = (x + 2)/x
Có thể viết
y = 1 + 2/x
Hay
y = 1 + 2x^(-1)
Khi đó
y’ = -2x^(-2)
Suy ra
y’ = -2/x²
Cách này nhanh hơn việc áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm thương.
Vì vậy trước khi tính đạo hàm phân số nên quan sát xem biểu thức có thể rút gọn hoặc tách thành các thành phần đơn giản hơn hay không.
Những lỗi thường gặp khi tính đạo hàm phân số
Một trong những lỗi phổ biến nhất là viết sai thứ tự trong tử số.
Công thức đúng là
u’v – uv’
không phải
uv’ – u’v.
Một số lỗi khác gồm
- Quên bình phương mẫu số.
- Quên lấy đạo hàm của mẫu.
- Sai dấu khi khai triển.
- Không ghi điều kiện xác định.
- Tính đạo hàm cấp hai trực tiếp từ hàm ban đầu thay vì từ y’.
- Không rút gọn biểu thức trước khi lấy đạo hàm tiếp.
Đặc biệt khi tính đạo hàm cấp hai, biểu thức sau đạo hàm lần thứ nhất có thể khá phức tạp. Vì vậy nên rút gọn y’ trước khi tiếp tục tính y”.
Mẹo tính đạo hàm phân số nhanh
Để tính nhanh và chính xác hơn có thể áp dụng một số mẹo
Thứ nhất, kiểm tra xem tử và mẫu có nhân tử chung để rút gọn trước hay không.
Thứ hai, nếu phân thức có thể chia đa thức hoặc tách thành tổng nên biến đổi trước.
Thứ ba, với dạng 1/u(x) nên chuyển về dạng lũy thừa âm để lấy đạo hàm nhanh.
Thứ tư, khi tìm đạo hàm bậc hai hãy rút gọn đạo hàm cấp một trước khi tiếp tục.
Ví dụ
y’ = -3/(x – 2)²
nên viết
y’ = -3(x – 2)^(-2)
để việc tính y” trở nên đơn giản hơn.
Bài tập đạo hàm phân số tham khảo
Bài 1
Tính đạo hàm
y = (2x + 1)/(x – 3)
Đáp án
y’ = -7/(x – 3)²
Bài 2
Tính đạo hàm
y = 1/(x + 2)
Đáp án
y’ = -1/(x + 2)²
Bài 3
Tính đạo hàm cấp hai
y = 1/(x + 1)
Ta có
y’ = -1/(x + 1)²
Và
y” = 2/(x + 1)³
Bài 4
Tính đạo hàm
y = x/(x + 1)
Ta có
y’ = [(x + 1) – x]/(x + 1)²
Suy ra
y’ = 1/(x + 1)²
Đạo hàm phân số là một dạng kiến thức cơ bản trong phần đạo hàm của chương trình Toán học. Với hàm số có dạng thương u/v, công thức quan trọng cần ghi nhớ là y’ = (u’v – uv’)/v². Khi cần tính đạo hàm phân số bậc 2 người học tiếp tục lấy đạo hàm của kết quả cấp một để tìm y”. Để hạn chế sai sót, nên xác định rõ tử và mẫu, tính riêng từng đạo hàm, chú ý dấu trừ cả rút gọn biểu thức trước khi thực hiện bước tiếp theo. Khi luyện tập thường xuyên các dạng từ đơn giản đến phức tạp, việc tính đạo hàm của hàm phân thức sẽ trở nên nhanh và chính xác hơn.
