Blog
Đường phân giác trong tam giác là gì? Định lý, tính chất và cách chứng minh
Trong chương trình Hình học, đường phân giác trong tam giác là một kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh hình học, tính độ dài đoạn thẳng cả tìm tỉ số giữa các cạnh. Đặc biệt, học sinh cần nắm rõ định lý đường phân giác trong tam giác, tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, tam giác cân cũng như cách chứng minh tia phân giác.
Vậy đường phân giác trong tam giác là gì? Đường phân giác có những tính chất nào và áp dụng ra sao? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây.
Đường phân giác trong tam giác là gì?
Trước hết, tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau.
Ví dụ xét tam giác ABC. Nếu AD là đường phân giác của góc A với D nằm trên cạnh BC thì
∠BAD = ∠DAC.
Khi đó, đoạn AD được gọi là đường phân giác trong tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.
Mỗi tam giác có ba đường phân giác trong tương ứng với ba góc A, B và C. Ba đường phân giác này đồng quy tại một điểm. Điểm đó chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Định lý đường phân giác trong tam giác
Một trong những kiến thức quan trọng nhất liên quan đến chủ đề này là định lý đường phân giác trong tam giác.
Xét tam giác ABC, đường phân giác AD của góc A cắt cạnh BC tại D.
Theo định lý đường phân giác ta có
BD/DC = AB/AC
Nói cách khác, đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.
Đây là công thức rất quan trọng thường xuyên được sử dụng trong các bài toán tính độ dài.
Ví dụ
Cho tam giác ABC có
AB = 6 cm,
AC = 9 cm,
BC = 10 cm.
Đường phân giác AD cắt BC tại D.
Theo định lý đường phân giác
BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3.
Do
BD + DC = 10 cm,
ta chia cạnh BC thành 5 phần bằng nhau.
Mỗi phần có độ dài
10 : 5 = 2 cm.
Suy ra
BD = 2 × 2 = 4 cm.
DC = 3 × 2 = 6 cm.
Như vậy, định lý đường phân giác giúp chúng ta tính nhanh độ dài hai đoạn trên cạnh đối diện khi biết độ dài các cạnh của tam giác.
Định lý đảo của đường phân giác trong tam giác
Ngoài định lý thuận, học sinh cũng cần ghi nhớ định lý đảo.
Trong tam giác ABC, nếu điểm D thuộc cạnh BC và thỏa mãn
BD/DC = AB/AC,
thì AD là đường phân giác của góc BAC.
Định lý đảo thường được sử dụng trong các bài toán yêu cầu chứng minh một đoạn thẳng là đường phân giác.
Ví dụ, nếu đề bài cho
AB = 4 cm,
AC = 6 cm,
BD = 2 cm,
DC = 3 cm,
ta có
AB/AC = 4/6 = 2/3
và
BD/DC = 2/3.
Vì
BD/DC = AB/AC,
nên theo định lý đảo đường phân giác, AD là tia phân giác của góc BAC.
Đường phân giác trong tam giác cân
Đường phân giác trong tam giác cân có một tính chất đặc biệt.
Xét tam giác ABC cân tại A tức là
AB = AC.
Nếu AD là đường phân giác của góc A thì AD đồng thời là
- Đường trung tuyến.
- Đường cao.
- Đường trung trực của cạnh BC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên
AB = AC.
Theo định lý đường phân giác
BD/DC = AB/AC = 1.
Suy ra
BD = DC.
Như vậy, D là trung điểm của BC và AD là đường trung tuyến.
Đồng thời, trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng là đường cao nên
AD ⟂ BC.
Đây là một tính chất rất quan trọng giúp rút ngắn nhiều bài toán chứng minh.
Khi gặp tam giác cân, học sinh nên chú ý đến đường phân giác xuất phát từ đỉnh chứa hai cạnh bằng nhau bởi đoạn thẳng này thường mang đồng thời nhiều tính chất.
Đường phân giác trong tam giác vuông
Đường phân giác trong tam giác vuông vẫn tuân theo định lý đường phân giác thông thường.
Giả sử tam giác ABC vuông tại A và AD là đường phân giác của góc A.
Vì
∠BAC = 90°,
nên AD chia góc vuông thành hai góc bằng nhau
∠BAD = ∠DAC = 45°.
Đồng thời
BD/DC = AB/AC.
Nhờ tính chất này mà chúng ta có thể kết hợp định lý đường phân giác với định lý Pythagore giải nhiều dạng bài toán.
Ví dụ nếu tam giác ABC vuông tại A có
AB = 3 cm,
AC = 4 cm,
thì theo định lý Pythagore
BC = 5 cm.
Nếu AD là đường phân giác của góc A thì
BD/DC = AB/AC = 3/4.
Do
BD + DC = 5,
ta có thể dựa vào tỉ lệ 3 : 4 để tính độ dài BD và DC.
Đường phân giác ngoài của tam giác là gì?
Bên cạnh đường phân giác trong, chúng ta còn có đường phân giác ngoài của tam giác.
Tại một đỉnh của tam giác, một cạnh và phần kéo dài của cạnh còn lại tạo thành góc ngoài. Tia chia góc ngoài đó thành hai góc bằng nhau được gọi là đường phân giác ngoài.
Ví dụ trong tam giác ABC kéo dài AB qua A tạo thành tia đối của AB. Đường phân giác của góc ngoài tạo bởi tia kéo dài này và AC được gọi là đường phân giác ngoài tại đỉnh A.
Đường phân giác ngoài cũng có tính chất liên quan đến tỉ lệ các cạnh.
Nếu đường phân giác ngoài tại A cắt đường thẳng BC tại D thì trong trường hợp phù hợp
BD/CD = AB/AC
với các đoạn thẳng được xét theo vị trí hình học cụ thể.
Một tính chất đáng chú ý khác là đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của cùng một góc vuông góc với nhau.
Cách chứng minh tia phân giác
Cách chứng minh tia phân giác là dạng bài rất phổ biến trong Hình học. Tùy dữ kiện của đề bài, học sinh có thể áp dụng một trong những phương pháp sau.
Cách 1 Chứng minh hai góc bằng nhau
Đây là phương pháp trực tiếp nhất.
Muốn chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC chỉ cần chứng minh
∠BAD = ∠DAC.
Hai góc này có thể được chứng minh bằng nhau thông qua các tam giác bằng nhau, góc so le trong, góc đồng vị hoặc các tính chất hình học khác.
Cách 2 Sử dụng định lý đảo đường phân giác
Trong tam giác ABC nếu D nằm trên BC và chứng minh được
BD/DC = AB/AC,
thì có thể kết luận AD là tia phân giác của góc A.
Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi đề bài cho nhiều dữ kiện về độ dài.
Cách 3 Chứng minh điểm nằm trên đường phân giác
Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc khi khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh của góc bằng nhau.
Giả sử điểm M nằm bên trong góc xOy. Nếu khoảng cách từ M đến Ox bằng khoảng cách từ M đến Oy thì OM là tia phân giác của góc xOy.
Đây cũng là một cách chứng minh thường gặp trong các bài toán nâng cao.
Một số bài tập về đường phân giác trong tam giác
Bài 1
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 7 cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D. Biết BC = 12 cm. Tính BD và DC.
Theo định lý đường phân giác
BD/DC = 5/7.
Tổng số phần là
5 + 7 = 12.
Vì BC = 12 cm nên mỗi phần tương ứng với 1 cm.
Suy ra
BD = 5 cm.
DC = 7 cm.
Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A. AD là đường phân giác của góc BAC. Chứng minh AD vuông góc với BC.
Vì tam giác ABC cân tại A nên
AB = AC.
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác cân
BD = DC.
Do đó AD vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến.
Trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường cao.
Vậy
AD ⟂ BC.
Những lỗi thường gặp khi học đường phân giác
Một lỗi phổ biến là học sinh nhầm đường phân giác với đường trung tuyến.
Đường phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau còn đường trung tuyến chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau.
Trong tam giác thường, hai đường này không nhất thiết trùng nhau. Chúng chỉ có thể trùng trong một số trường hợp đặc biệt, điển hình là tam giác cân.
Một lỗi khác là viết sai tỉ lệ của định lý đường phân giác.
Nếu AD là đường phân giác của góc A thì phải ghi
BD/DC = AB/AC.
Hai đoạn trên cạnh BC phải được ghép tương ứng với hai cạnh AB và AC. Việc đảo một phía mà không đảo phía còn lại sẽ dẫn đến kết quả sai.
Đường phân giác trong tam giác là một nội dung quan trọng trong Hình học có nhiều ứng dụng trong các bài toán tính toán cũng như chứng minh.
Muốn nắm vững kiến thức này, học sinh cần nhớ ba nội dung cốt lõi. Thứ nhất, đường phân giác trong tam giác là gì thì đó là đoạn thẳng xuất phát từ một đỉnh mà chia góc tại đỉnh thành hai góc bằng nhau. Thứ hai, định lý đường phân giác trong tam giác cho biết đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề. Thứ ba, cần biết vận dụng tính chất đặc biệt của đường phân giác trong tam giác vuông, đường phân giác trong tam giác cân và đường phân giác ngoài của tam giác.
Khi làm dạng bài cách chứng minh tia phân giác hãy ưu tiên kiểm tra xem có thể chứng minh hai góc bằng nhau hay áp dụng định lý đảo của đường phân giác hay không. Nắm chắc các nguyên tắc trên sẽ giúp học sinh xử lý nhanh và chính xác phần lớn bài tập liên quan đến đường phân giác.
