Blog
Đường Đi Hamilton và Đường Đi Euler: Khái Niệm và Sự Khác Biệt
Trong lý thuyết đồ thị thì đường đi Hamilton và đường đi Euler là hai khái niệm rất quan trọng. Được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu hóa, lập lịch, tìm kiếm đường đi tối ưu, nhiều bài toán trong toán học với cả khoa học máy tính. Dù có tên gọi và ứng dụng khác nhau thì cả hai đều liên quan đến việc tìm kiếm các đường đi trong một đồ thị, nhưng chúng có những yêu cầu với tính chất riêng biệt.
1. Đường Đi Hamilton (Hamiltonian Path)
Định nghĩa
-
Đường đi Hamilton trong một đồ thị là một đường đi đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần duy nhất.
-
Nếu đường đi này quay lại đỉnh đầu tiên (tạo thành một chu trình), ta gọi đó là chu trình Hamilton (Hamiltonian Cycle).
Các đặc điểm quan trọng của đường đi Hamilton
-
Đối với một đồ thị có nn đỉnh, đường đi Hamilton phải thăm tất cả các đỉnh một lần và chỉ một lần.
-
Không cần phải đi qua tất cả các cạnh trong đồ thị.
-
Tìm kiếm đường đi Hamilton trong đồ thị là một bài toán NP-Hard, có nghĩa là nó rất khó giải quyết khi số lượng đỉnh trong đồ thị tăng lên.
Ví dụ
-
Nếu bạn có một đồ thị gồm 5 đỉnh (A, B, C, D, E), một ví dụ về đường đi Hamilton có thể là: A → B → C → D → E.
-
Nếu đồ thị là chu trình Hamilton, bạn có thể có đường đi như: A → B → C → D → E → A.
2. Đường Đi Euler (Eulerian Path)
Định nghĩa
-
Đường đi Euler trong một đồ thị là một đường đi đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần duy nhất.
-
Nếu đường đi này quay lại đỉnh đầu tiên (tạo thành một chu trình), ta gọi đó là chu trình Euler (Eulerian Cycle).
Các đặc điểm quan trọng của đường đi Euler
-
Đối với một đồ thị có nn cạnh, đường đi Euler phải đi qua tất cả các cạnh một lần và chỉ một lần.
-
Để một đồ thị có chu trình Euler, mọi đỉnh trong đồ thị phải có số bậc (degree) là số chẵn.
-
Để đồ thị có đường đi Euler, đồ thị phải có đúng 0 hoặc 2 đỉnh bậc lẻ.
-
Tìm kiếm đường đi Euler có thể thực hiện bằng thuật toán Fleury’s algorithm hoặc Hierholzer’s algorithm.
Ví dụ
-
Trong một đồ thị với 4 đỉnh (A, B, C, D) và các cạnh nối như sau: A-B, B-C, C-D, D-A, ta có thể có chu trình Euler như sau: A → B → C → D → A.
3. Sự Khác Biệt Giữa Đường Đi Hamilton và Đường Đi Euler
| Tiêu chí | Đường Đi Hamilton | Đường Đi Euler |
|---|---|---|
| Yêu cầu về đỉnh | Đi qua mỗi đỉnh một lần duy nhất. | Đi qua mỗi cạnh một lần duy nhất. |
| Yêu cầu về cạnh | Không yêu cầu đi qua tất cả các cạnh của đồ thị. | Phải đi qua tất cả các cạnh của đồ thị. |
| Chu trình | Nếu có thể quay lại điểm xuất phát, gọi là chu trình Hamilton. | Nếu có thể quay lại điểm xuất phát, gọi là chu trình Euler. |
| Điều kiện tồn tại | Không có điều kiện đơn giản, khó xác định. | Đồ thị có chu trình Euler nếu tất cả các đỉnh có bậc chẵn, hoặc có đúng 2 đỉnh bậc lẻ. |
| Ứng dụng | Phổ biến trong các bài toán tối ưu hóa và tìm kiếm quỹ đạo (ví dụ: bài toán người du lịch). | Thường được sử dụng trong các bài toán về mạng lưới, vận chuyển, hoặc khi cần đảm bảo rằng mỗi cạnh được sử dụng một lần. |
| Độ phức tạp tính toán | NP-Hard, khó giải khi số đỉnh lớn. | Dễ tính toán hơn, có thuật toán cụ thể. |
4. Ví Dụ Cụ Thể
Đường Đi Hamilton
Giả sử bạn có một đồ thị với 4 đỉnh A, B, C, D và các cạnh nối như sau
-
A – B
-
B – C
-
C – D
-
D – A
Một đường đi Hamilton có thể là A → B → C → D. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn không cần phải đi qua tất cả các cạnh của đồ thị.
Đường Đi Euler
Cũng với đồ thị trên, một chu trình Euler có thể là A → B → C → D → A, vì trong chu trình này bạn đã đi qua tất cả các cạnh của đồ thị một lần duy nhất.
Đường đi Hamilton và đường đi Euler đều là các khái niệm quan trọng trong lý thuyết đồ thị. Có ứng dụng rộng rãi trong khoa học máy tính, toán học, các bài toán tối ưu hóa. Mặc dù có sự tương đồng trong việc đi qua các đỉnh hoặc cạnh của đồ thị nhưng mỗi khái niệm đều có đặc điểm với điều kiện riêng biệt. Việc phân biệt rõ hai loại đường đi này sẽ giúp giải quyết chính xác các bài toán liên quan đến đồ thị trong thực tiễn.
Tag: đường đi euler và đường đi hamilton
