Blog

Hình viên phân là gì? Công thức tính diện tích hình viên phân chi tiết

Hình viên phân là một dạng hình học thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến đường tròn, cung tròn và hình quạt tròn. Để giải tốt dạng bài này học sinh cần hiểu chính xác hình viên phân được tạo thành như thế nào đồng thời nắm được công thức tính diện tích hình viên phân dựa trên diện tích hình quạt và diện tích tam giác.

Bài viết dưới đây sẽ trình bày từ khái niệm, đặc điểm, công thức đến ví dụ minh họa và những lưu ý quan trọng khi giải bài tập về hình viên phân.

Hình viên phân là gì?

Hình viên phân là phần của hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và dây cung nối hai đầu mút của cung đó.

Giả sử đường tròn tâm O có hai điểm A và B nằm trên đường tròn. Dây cung AB cùng với cung AB giới hạn một miền bên trong hình tròn. Miền này được gọi là hình viên phân.

Một dây cung thường chia hình tròn thành hai hình viên phân

  • Hình viên phân nhỏ ứng với cung nhỏ AB.
  • Hình viên phân lớn ứng với cung lớn AB.

Trong các bài toán phổ thông, nếu đề bài không có yêu cầu đặc biệt thì hình viên phân thường được xét là phần nhỏ giới hạn bởi dây cung và cung nhỏ tương ứng.

Các thành phần của hình viên phân

Muốn xác định cả tính diện tích hình viên phân cần nhận biết một số yếu tố cơ bản

  • Tâm đường tròn O.
  • Bán kính R.
  • Hai điểm A và B trên đường tròn.
  • Dây cung AB.
  • Cung AB.
  • Góc ở tâm AOB.

Trong đó số đo góc AOB có vai trò rất quan trọng vì được sử dụng tính diện tích hình quạt tròn.

Nếu biết bán kính và góc ở tâm, chúng ta có thể xác định diện tích hình quạt AOB rồi trừ đi diện tích tam giác AOB để tìm diện tích viên phân nhỏ.

Hình viên phân và hình quạt tròn khác nhau thế nào?

Hình viên phân và hình quạt tròn là hai khái niệm dễ bị nhầm lẫn.

Hình quạt tròn là phần hình tròn được giới hạn bởi hai bán kính và cung nằm giữa hai bán kính đó.

Trong khi đó hình viên phân được giới hạn bởi một dây cung và cung tương ứng.

Ví dụ với đường tròn tâm O, hai điểm A và B nằm trên đường tròn

  • Hình quạt AOB được giới hạn bởi OA, OB và cung AB.
  • Hình viên phân được giới hạn bởi dây AB và cung AB.

Có thể hiểu hình viên phân nhỏ chính là phần hình quạt còn lại sau khi loại bỏ tam giác AOB.

Đây cũng chính là cơ sở xây dựng công thức tính diện tích.

Công thức diện tích hình viên phân

Đối với viên phân nhỏ công thức cơ bản là

Diện tích hình viên phân = Diện tích hình quạt − Diện tích tam giác

Ký hiệu

S viên phân = S quạt − S tam giác AOB

Đây là công thức quan trọng nhất cần ghi nhớ.

Để áp dụng, chúng ta lần lượt tính diện tích hình quạt tròn và diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính cùng dây cung.

Công thức tính diện tích hình quạt

Giả sử

  • Bán kính đường tròn là R.
  • Góc ở tâm AOB bằng α độ.

Diện tích hình quạt AOB được tính theo công thức

S quạt = (α/360°) × πR²

Ví dụ bán kính R = 6 cm và góc ở tâm bằng 60°

S quạt = 60/360 × π × 6²

= 6π cm².

Sau khi có diện tích hình quạt cần tiếp tục tính diện tích tam giác AOB.

Cách tính diện tích tam giác AOB

Tam giác AOB có

OA = OB = R

nên đây là tam giác cân tại O.

Nếu biết góc ở tâm α, diện tích tam giác có thể tính bằng công thức lượng giác

S tam giác = 1/2 × R² × sin α

Do đó công thức tổng quát để tính diện tích hình viên phân nhỏ là

S viên phân = (α/360°) × πR² − 1/2 × R² × sin α

Công thức này rất thuận tiện khi đề bài cho trực tiếp bán kính và số đo góc ở tâm.

Công thức diện tích hình viên phân theo radian

Trong các bài toán sử dụng đơn vị radian, giả sử góc ở tâm bằng θ radian.

Diện tích hình quạt là

S quạt = 1/2R²θ

Diện tích tam giác AOB là

S tam giác = 1/2R²sinθ

Do đó

S viên phân = 1/2R²(θ − sinθ)

Lưu ý rằng công thức chỉ được sử dụng trực tiếp khi θ được tính bằng radian.

Không được lấy một góc đang tính bằng độ đưa thẳng vào công thức trên.

Ví dụ tính diện tích hình viên phân

Cho đường tròn tâm O có bán kính

R = 6 cm

Góc ở tâm

∠AOB = 60°.

Hãy tính diện tích viên phân nhỏ được giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB.

Bước 1 Tính diện tích hình quạt

S quạt = 60/360 × π × 6²

= 6π cm².

Bước 2 Tính diện tích tam giác AOB

Ta có

S tam giác = 1/2 × 6² × sin60°

= 18 × √3/2

= 9√3 cm².

Bước 3 Tính diện tích viên phân

S viên phân = 6π − 9√3 cm².

Nếu lấy π ≈ 3,14 thì

6π ≈ 18,84

9√3 ≈ 15,59.

Vậy

S viên phân ≈ 3,25 cm².

Trường hợp góc ở tâm bằng 90 độ

Nếu góc AOB = 90° thì tam giác AOB là tam giác vuông cân.

Khi đó

S quạt = 90/360 × πR² = πR²/4.

Diện tích tam giác

S tam giác = 1/2R².

Do đó

S viên phân = πR²/4 − R²/2

Có thể viết

S viên phân = R²(π/4 − 1/2).

Đây là trường hợp thường gặp trong bài tập hình học.

Trường hợp góc ở tâm bằng 180 độ

Nếu góc ở tâm bằng 180° thì hai điểm A và B tạo thành một đường kính.

Khi đó cung AB là nửa đường tròn và dây AB chính là đường kính.

Tam giác AOB có ba điểm A, O, B thẳng hàng nên diện tích bằng 0.

Vì vậy hình viên phân lúc này chính là nửa hình tròn.

Diện tích

S = πR²/2

Đây là trường hợp đặc biệt của công thức diện tích viên phân.

Cách tính diện tích viên phân lớn

Một dây cung chia hình tròn thành viên phân nhỏ và viên phân lớn.

Nếu đã biết diện tích viên phân nhỏ có thể tính phần lớn bằng

S viên phân lớn = πR² − S viên phân nhỏ

Đây thường là cách đơn giản nhất.

Ví dụ nếu hình tròn có diện tích 100π cm² và viên phân nhỏ có diện tích 20 cm² thì

S viên phân lớn = 100π − 20 cm².

Khi làm bài cần đọc kỹ đề xem yêu cầu tính phần nhỏ hay phần lớn.

Cách nhận biết bài toán hình viên phân

Một bài toán thường liên quan đến hình viên phân nếu xuất hiện các dữ kiện như

  • Một đường tròn.
  • Một dây cung.
  • Một cung tròn.
  • Yêu cầu tính phần diện tích giữa dây cung và cung.
  • Góc ở tâm.
  • Bán kính đường tròn.

Khi nhìn thấy phần diện tích được giới hạn bởi dây cung và cung tròn có thể nghĩ ngay tới hình viên phân.

Sau đó hãy tìm hình quạt chứa phần viên phân đó cả xác định tam giác cần loại bỏ.

Các bước tính diện tích hình viên phân

Có thể ghi nhớ quy trình gồm 5 bước

Bước 1 Xác định bán kính R.

Bước 2 Xác định số đo góc ở tâm α.

Bước 3 Tính diện tích hình quạt.

Bước 4 Tính diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung.

Bước 5 Lấy diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác.

Nếu đề yêu cầu viên phân lớn, tiếp tục lấy diện tích hình tròn trừ diện tích viên phân nhỏ.

Những lỗi thường gặp khi tính diện tích hình viên phân

Một lỗi phổ biến là nhầm hình viên phân với hình quạt tròn.

Nếu chỉ áp dụng

α/360 × πR²

thì bạn mới tính được diện tích hình quạt chứ chưa phải diện tích viên phân.

Lỗi thứ hai là quên trừ diện tích tam giác AOB.

Lỗi thứ ba liên quan đến đơn vị của góc. Công thức sử dụng độ và công thức sử dụng radian không thể thay thế trực tiếp cho nhau.

Ngoài ra học sinh cũng cần kiểm tra đơn vị. Nếu bán kính tính bằng cm thì diện tích phải được ghi theo cm².

Ý nghĩa thực tế của hình viên phân

Hình viên phân không chỉ xuất hiện trong bài tập Toán học.

Dạng hình này còn có thể gặp trong

  • Thiết kế kiến trúc.
  • Các cửa sổ dạng cung.
  • Thiết kế cầu.
  • Chi tiết cơ khí.
  • Tính diện tích các bề mặt cong.
  • Thiết kế logo và đồ họa.
  • Bài toán kỹ thuật liên quan đến bồn hoặc ống hình tròn.

Vì vậy công thức diện tích viên phân có nhiều ứng dụng ngoài phạm vi lớp học.

Hình viên phân là phần hình tròn được giới hạn bởi một dây cung và cung tròn có cùng hai đầu mút là khái niệm cần phân biệt rõ với hình quạt tròn bởi hình quạt được giới hạn bởi hai bán kính và một cung.

Để tính diện tích hình viên phân nhỏ, công thức cơ bản cần ghi nhớ là

S viên phân = S hình quạt − S tam giác

Nếu góc ở tâm α được tính bằng độ

S = (α/360°)πR² − 1/2R²sinα

Nếu góc θ tính bằng radian

S = 1/2R²(θ − sinθ)

Chỉ cần xác định đúng bán kính, góc ở tâm và phần diện tích được yêu cầu là bạn có thể giải hầu hết các dạng bài về hình viên phân một cách nhanh chóng chính xác.