Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Đường Thẳng – Công Thức Và Cách Tính

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học. Giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình học phẳng và hình học không gian. Đặc biệt trong hệ tọa độ Oxyz việc tính khoảng cách này giúp xác định mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng trong không gian ba chiều.

Bài viết này sẽ hướng dẫn công thức với cả cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng và không gian Oxyz.

1. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng

Công thức tổng quát

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát

Ax + By + C = 0

Và điểm M(x0, y0) nằm ngoài đường thẳng d, khoảng cách từ M đến d được tính theo công thức

d(M, d) = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)

Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 và điểm M(2, -1).

Áp dụng công thức

d = |3(2) – 4(-1) + 5| / √(3² + (-4)²)

= |6 + 4 + 5| / √(9 + 16)

= |15| / √25

= 15 / 5

= 3

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là 3 đơn vị.

2. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz

Phương pháp tổng quát

Cho đường thẳng d trong không gian Oxyz có phương trình tham số

• x = x1 + a*t
• y = y1 + b*t
• z = z1 + c*t

Và điểm M(x0, y0, z0) nằm ngoài đường thẳng, khoảng cách từ M đến đường thẳng d được tính bằng công thức

d(M, d) = || (M0M1) × v || / ||v||

Trong đó

• M1(x1, y1, z1) là một điểm trên đường thẳng d.
• v(a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• “×” là tích có hướng của hai vectơ.
• ||v|| là độ dài vectơ v.

Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng d có phương trình tham số

• x = 1 + 2*t
• y = -3 + t
• z = 4 – t

Và điểm M(3, 0, 5) nằm ngoài đường thẳng.

Bước 1: Chọn một điểm trên đường thẳng

Lấy điểm M1(1, -3, 4) khi t = 0.

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là v(2, 1, -1).

Bước 3: Xác định vectơ M1M0

M1M0 = (3 – 1, 0 + 3, 5 – 4) = (2, 3, 1).

Bước 4: Tính tích có hướng M1M0 × v

| i j k |

| 2 3 1 |

| 2 1 -1 |

= i(3*(-1) – 11) – j(2(-1) – 12) + k(21 – 3*2)

= i(-3 – 1) – j(-2 – 2) + k(2 – 6)

= -4i + 4j – 4k

Bước 5: Tính độ dài

|| (-4, 4, -4) || = √((-4)² + 4² + (-4)²) = √(16 + 16 + 16) = √48 = 4√3.

Bước 6: Tính độ dài vectơ chỉ phương

|| v || = √(2² + 1² + (-1)²) = √(4 + 1 + 1) = √6.

Bước 7: Áp dụng công thức

d = ||M1M0 × v|| / ||v|| = (4√3) / √6 = 4√18 / 6 = 4√3 / 3 ≈ 2.31.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là 2.31 đơn vị.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có thể tính dễ dàng bằng các công thức hình học và vectơ.

Tóm tắt công thức quan trọng

Trong mặt phẳng

d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²).

Trong không gian Oxyz

d = || (M0M1) × v || / ||v||.

Việc hiểu rõ và áp dụng công thức này giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán hình học tọa độ trong không gian ba chiều.

Tag: khoảng cách từ điểm tới đường thẳng