Phương Trình Đường Thẳng – Lý Thuyết và Cách Viết

Phương trình đường thẳng là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học giải tích. Việc hiểu rõ các dạng phương trình và cách viết giúp giải quyết nhiều bài toán trong đại số với hình học và ứng dụng thực tế.

1. Phương Trình Đường Thẳng Có Dạng Như Thế Nào

Một đường thẳng trong mặt phẳng có thể được biểu diễn bằng nhiều dạng phương trình khác nhau, tùy thuộc vào thông tin cho trước. Các dạng phổ biến bao gồm

1. Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0
2. Phương trình tham số
   • x = x0 + at
   • y = y0 + bt
3. Phương trình chính tắc: (x – x0)/a = (y – y0)/b
4. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: y – y1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – x1)
5. Phương trình trong không gian (Oxyz):
   • Dạng tham số
     • x = x0 + at
     • y = y0 + bt
     • z = z0 + ct
   • Dạng chính tắc: (x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c

2. Cách Viết Phương Trình Đường Thẳng

2.1. Phương Trình Tổng Quát

Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong mặt phẳng có dạng

Ax + By + C = 0

Trong đó

• A, B, C là các hằng số với điều kiện A và B không đồng thời bằng 0.
• Nếu B ≠ 0 thì phương trình có thể chuyển về dạng hàm số y = mx + c với m = -A/B và c = -C/B.

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (2, -3) và có hệ số góc m = 4.

Giải

Phương trình đường thẳng có dạng: y – y1 = m(x – x1)

Thay (x1, y1) = (2, -3), m = 4

y + 3 = 4(x – 2)

y = 4x – 8 – 3

y = 4x – 11

Chuyển về dạng tổng quát: 4x – y – 11 = 0.

2.2. Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm

Nếu biết hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2), phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này có dạng

y – y1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – x1)

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 2) và B(3, 5).

Giải

Hệ số góc: m = (5 – 2) / (3 – 1) = 3/2

Phương trình: y – 2 = (3/2)(x – 1)

y = (3/2)x + 2 – 3/2

y = (3/2)x + 1/2

Dạng tổng quát: 3x – 2y + 1 = 0.

2.3. Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian (Oxyz)

Trong không gian một đường thẳng đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có vectơ chỉ phương v(a, b, c) có phương trình tham số

• x = x0 + at
• y = y0 + bt
• z = z0 + ct

Dạng chính tắc

(x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c

Ví dụ viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1, -2, 3) và có vectơ chỉ phương v(2, 3, -1).

Giải

Phương trình tham số

• x = 1 + 2t
• y = -2 + 3t
• z = 3 – t

Dạng chính tắc

(x – 1)/2 = (y + 2)/3 = (z – 3)/(-1).

3. Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm Cực Trị

Trong đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d, hai điểm cực trị được xác định bằng cách giải phương trình đạo hàm

y’ = 3ax² + 2bx + c = 0

Tìm hai nghiệm x1, x2 rồi tính tọa độ điểm cực trị

y1 = f(x1), y2 = f(x2)

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

y – y1 = (y2 – y1) / (x2 – x1) * (x – x1)

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2x, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.

Giải

Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x + 2

Giải 3x² – 6x + 2 = 0 ta được x1 = 1, x2 = 2.

Tọa độ hai điểm cực trị: (1, 0) và (2, 2).

Phương trình đường thẳng qua hai điểm

y – 0 = (2 – 0) / (2 – 1) * (x – 1)

y = 2(x – 1)

y = 2x – 2

4. Ứng Dụng Trong Thực Tế

• Trong kiến trúc: Xác định phương trình đường thẳng để thiết kế các mặt phẳng song song hoặc vuông góc.
• Trong đồ họa máy tính vẽ các đường thẳng trong không gian 2D và 3D.
• Trong vật lý: Xác định quỹ đạo của vật thể chuyển động thẳng.

Phương trình đường thẳng có nhiều dạng khác nhau, phù hợp với từng loại bài toán cụ thể.

Phương trình đi qua hai điểm là cách nhanh nhất để xác định một đường thẳng khi biết hai điểm bất kỳ.

Phương trình trong không gian cần sử dụng vectơ chỉ phương để xác định hướng đi của đường thẳng.

Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực từ toán học đến kỹ thuật cùng thiết kế và vật lý.

Việc nắm vững các công thức và cách xác định phương trình đường thẳng giúp bạn dễ dàng giải các bài toán từ lớp 10 đến lớp 12 và ứng dụng vào thực tế