Tính Chất Đường Phân Giác Trong Tam Giác: Những Điều Cần Biết

Trong hình học thì đường phân giác là một đường quan trọng giúp chia đôi góc và có nhiều ứng dụng trong bài toán chứng minh cũng như tính toán độ dài các đoạn thẳng trong tam giác. Tùy vào loại tam giác như vuông, cân, đều mà đường phân giác sẽ có những tính chất đặc biệt. Cùng tìm hiểu rõ hơn về tính chất của đường phân giác và cách áp dụng vào giải toán.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng đi từ một đỉnh của tam giác, chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau, và cắt cạnh đối diện tại một điểm. Mỗi tam giác có ba đường phân giác trong.

Tính chất đặc biệt

• Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ký hiệu là I.
• Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác.

2. Tính chất chung của ba đường phân giác trong tam giác

• Ba đường phân giác trong của tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác và là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
• Định lý đường phân giác trong: Trong một tam giác đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn có tỷ lệ bằng tỷ lệ hai cạnh kề với đỉnh mà nó xuất phát.

BD / DC = AB / AC

(trong đó AD là đường phân giác của tam giác ABC, cắt BC tại D).

3. Tính chất đường phân giác trong tam giác vuông

• Trong tam giác vuông, đường phân giác xuất phát từ góc vuông có một tính chất đặc biệt

AD = (bc) / (b + c)

(trong đó AD là đường phân giác từ góc vuông A của tam giác vuông ABC, cạnh huyền là BC, hai cạnh góc vuông là AB và AC).

• Đường phân giác trong tam giác vuông không bao giờ là đường cao hay trung tuyến trừ khi tam giác vuông đó cân.

4. Tính chất đường phân giác trong tam giác cân

• Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh góc cân cũng là đường trung tuyến và đường cao.
• Điều này có nghĩa là đường phân giác sẽ chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau và vuông góc với cạnh đáy.

Ví dụ trong tam giác cân ABC (AB = AC), nếu AD là đường phân giác từ A thì

BD = DC và AD vuông góc BC

Tính chất này giúp chúng ta dễ dàng chứng minh một tam giác là tam giác cân nếu biết quan hệ giữa các đường đặc biệt.

5. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Ba đường phân giác trong tam giác luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Tâm đường tròn nội tiếp luôn nằm bên trong tam giác, bất kể tam giác đó là nhọn, tù, hay vuông.
• Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác, nghĩa là khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh của tam giác luôn bằng nhau.

Công thức xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)

I(x, y) = ((a * x₁ + b * x₂ + c * x₃) / (a + b + c), (a * y₁ + b * y₂ + c * y₃) / (a + b + c))

với a, b, c là độ dài ba cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.

6. Ứng dụng của đường phân giác trong bài toán hình học

• Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Chứng minh tỷ lệ các đoạn thẳng trong tam giác bằng định lý đường phân giác.
• Tìm độ dài đường phân giác trong tam giác vuông hoặc tam giác cân.
• Giúp chứng minh một tam giác có phải tam giác cân hay không.

Đường phân giác là một trong những đường đặc biệt quan trọng trong tam giác. Giúp chia góc và tạo nên các quan hệ tỷ lệ giữa các cạnh. Tùy thuộc vào loại tam giác vuông, cân hay đều mà đường phân giác có những tính chất riêng biệt giúp ta suy luận và giải bài toán nhanh chóng.