Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Tọa Độ

Trong hình học phẳng, đường tròn là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng có khoảng cách không đổi đến một điểm cố định gọi là tâm. Khi đặt đường tròn vào hệ tọa độ Oxy, ta có thể biểu diễn nó bằng phương trình đại số.

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về phương trình đường tròn với cách xác định các yếu tố quan trọng và ứng dụng trong thực tế.

1. Phương Trình Tổng Quát Của Đường Tròn

Đường tròn có tâm O(a, b) và bán kính R là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) sao cho khoảng cách từ M đến O bằng R.

Dựa vào định nghĩa trên, ta có phương trình đường tròn dưới dạng

(x – a)² + (y – b)² = R²

Trong đó

• (a, b) là tọa độ tâm đường tròn.
• R là bán kính đường tròn.

Ví dụ: Đường tròn có tâm O(3, -2) và bán kính R = 5 có phương trình

(x – 3)² + (y + 2)² = 25

2. Phương Trình Đường Tròn Đặc Biệt

a) Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ

Nếu đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) và bán kính R phương trình đơn giản thành

x² + y² = R²

Ví dụ Đường tròn tâm O(0,0) và bán kính 4 có phương trình

x² + y² = 16

b) Phương trình đường tròn tổng quát

Một đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có thể được viết dưới dạng phương trình bậc hai

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Trong đó

• D, E, F là các hằng số thực.
• Nếu D² + E² – 4F > 0 thì phương trình biểu diễn một đường tròn.
• Nếu D² + E² – 4F = 0 thì phương trình biểu diễn một điểm (trường hợp suy biến).
• Nếu D² + E² – 4F < 0 thì phương trình không biểu diễn một đường tròn hợp lệ.

Cách tìm tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

Ta có thể đưa phương trình này về dạng chuẩn bằng cách hoàn chỉnh bình phương

• Tọa độ tâm đường tròn: O(-D/2, -E/2)
• Bán kính: R = √(D²/4 + E²/4 – F)

Ví dụ: Cho phương trình đường tròn x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

• Hoàn chỉnh bình phương
  (x – 2)² – 4 + (y + 3)² – 9 = 12
  ⇒ (x – 2)² + (y + 3)² = 25
• Suy ra tâm đường tròn O(2, -3) và bán kính R = 5.

3. Vị Trí Tương Đối Giữa Điểm Và Đường Tròn

Cho điểm M(x₀, y₀) và đường tròn có phương trình (x – a)² + (y – b)² = R². Khoảng cách từ M đến tâm đường tròn O(a, b) là
d = √[(x₀ – a)² + (y₀ – b)²]

• Nếu d < R: Điểm M nằm bên trong đường tròn.
• Nếu d = R: Điểm M nằm trên đường tròn.
• Nếu d > R: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn.

4. Vị Trí Tương Đối Giữa Đường Thẳng Và Đường Tròn

Cho đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 và đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R². Khoảng cách từ tâm O(a, b) đến đường thẳng d là
d(O, d) = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

• Nếu d(O, d) > R: Đường thẳng không cắt đường tròn.
• Nếu d(O, d) = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• Nếu d(O, d) < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

5. Ứng Dụng Của Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Tọa Độ

• Trong vật lý: Đường tròn mô tả quỹ đạo chuyển động tròn của vật thể, như chuyển động của hành tinh quanh mặt trời.
• Trong kỹ thuật Đường tròn được sử dụng trong thiết kế bánh răng với vòng bi và hệ thống cơ khí.
• Trong đồ họa và máy tính thì phương trình đường tròn được dùng để vẽ hình tròn trong lập trình đồ họa.

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ được biểu diễn bằng phương trình (x – a)² + (y – b)² = R², giúp mô tả nhiều tính chất hình học quan trọng. Việc hiểu rõ các dạng phương trình đường tròn cùng cách xác định tâm và bán kính giúp giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế.

Tag: đường tròn trong mặt phẳng tọa độ