Các Đường Tròn Đặc Biệt Trong Hình Học

Trong hình học, ngoài đường tròn cơ bản, có nhiều đường tròn đặc biệt liên quan đến các tính chất hình học quan trọng. Ba trong số đó là đường tròn Euler hay đường tròn mixtilinear và đường tròn Apollonius. Những đường tròn này có ứng dụng sâu sắc trong toán học đặc biệt trong hình học phẳng và hình học tam giác.

1. Đường tròn Euler

Định nghĩa

Đường tròn Euler là đường tròn đi qua các điểm đặc biệt của tam giác bao gồm

• Trung điểm của ba cạnh tam giác
• Chân đường cao từ ba đỉnh hạ xuống cạnh đối diện
• Trung điểm của đoạn nối trực tâm với ba đỉnh

Tính chất

• Đường tròn Euler đi qua 9 điểm quan trọng của tam giác nên còn được gọi là đường tròn 9 điểm.
• Tâm của đường tròn Euler nằm trên đường thẳng Euler, cùng với trọng tâm và trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Trong tam giác đều, đường tròn Euler trùng với đường tròn ngoại tiếp.

Ứng dụng

• Giúp xác định các điểm đặc biệt trong tam giác.
• Hỗ trợ chứng minh các bài toán hình học về trực tâm và trung điểm.

2. Đường tròn Mixtilinear

Định nghĩa

Đường tròn mixtilinear (hay đường tròn bàng tiếp trong-tam giác) là đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác và tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Tính chất

• Một tam giác có ba đường tròn mixtilinear, mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp.
• Tâm của các đường tròn mixtilinear có mối quan hệ đặc biệt với các điểm trên đường tròn nội tiếp.
• Các đường tròn mixtilinear thường được dùng để xác định các điểm đặc biệt trong tam giác.

Ứng dụng

• Thường xuất hiện trong các bài toán về tiếp tuyến và tiếp điểm trong hình học phẳng.
• Được dùng để mở rộng bài toán đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp.

3. Đường tròn Apollonius

Định nghĩa

Đường tròn Apollonius là tập hợp các điểm có tỷ số khoảng cách đến hai điểm cố định (thường là hai tiêu điểm) bằng một hằng số dương khác 1.

Tính chất

• Nếu cho hai điểm cố định A,B tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn PA/PB=k (với k là hằng số dương khác 1) sẽ tạo thành một đường tròn, gọi là đường tròn Apollonius.
• Một tam giác có ba đường tròn Apollonius, mỗi đường tròn liên quan đến một cặp cạnh của tam giác.
• Đường tròn Apollonius còn liên quan đến các quỹ tích điểm có cùng tỷ số khoảng cách đến hai tiêu điểm.

Ứng dụng

• Dùng trong bài toán quỹ tích và số học hình học.
• Xuất hiện trong các bài toán về tỷ số chia đoạn và các bài toán quỹ tích trong không gian Euclid.

Ba đường tròn này đều có ứng dụng quan trọng trong hình học tam giác

• Đường tròn Euler giúp xác định các điểm đặc biệt trong tam giác.
• Đường tròn mixtilinear liên quan đến tiếp tuyến và tiếp điểm của tam giác.
• Đường tròn Apollonius giúp xác định các quỹ tích điểm theo tỷ số khoảng cách.

Mỗi đường tròn đều có những tính chất thú vị và quan trọng, giúp giải quyết nhiều bài toán hình học phẳng.