Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Đường Tròn – Trường Hợp Tiếp Xúc

Trong hình học phẳng thì một đường thẳng và một đường tròn có thể có nhiều vị trí tương đối khác nhau. Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa khoảng cách từ đường thẳng đến tâm đường tròn và bán kính của đường tròn.

Một trong những trường hợp đặc biệt là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, khi đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với đường tròn. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, đồng thời phân tích kỹ trường hợp tiếp xúc.

1. Các Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Đường Tròn

Cho đường tròn có tâm O và bán kính R, xét một đường thẳng d bất kỳ trên mặt phẳng. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn được xác định bằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d, ký hiệu là d(O, d). Có ba trường hợp chính

a) Đường thẳng cắt đường tròn

• Khi d(O, d) < R thì đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung.
• Đường thẳng này được gọi là cát tuyến của đường tròn.

b) Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

• Khi d(O, d) = R đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất, gọi là tiếp điểm.
• Đường thẳng này được gọi là tiếp tuyến của đường tròn.

c) Đường thẳng không cắt đường tròn

• Khi d(O, d) > R, đường thẳng không có điểm chung với đường tròn.
• Trong trường hợp này, đường thẳng được gọi là đường thẳng ngoài.

2. Đường Thẳng Tiếp Xúc Với Đường Tròn

Điều Kiện Tiếp Xúc

Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi nó có đúng một điểm chung với đường tròn. Điều kiện tiếp xúc là

d(O, d) = R

Tức là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng đúng bán kính của đường tròn.

Tính Chất Của Tiếp Tuyến

1. Góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm luôn bằng 90 độ
   • Nếu M là tiếp điểm, thì OM ⊥ d (OM là bán kính đi qua tiếp điểm).
2. Có hai tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đường tròn
   • Nếu từ một điểm A bên ngoài đường tròn có thể kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn, thì hai tiếp tuyến này có độ dài bằng nhau.
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
   • Nếu đường tròn có phương trình
     (x – a)² + (y – b)² = R²
   • Và tiếp tuyến đi qua một điểm M(x₀, y₀) thuộc đường tròn, thì phương trình tiếp tuyến có dạng
     (x₀ – a)(x – a) + (y₀ – b)(y – b) = R²

3. Ứng Dụng Của Đường Tiếp Tuyến

• Trong cơ học, tiếp tuyến giúp xác định phương hướng chuyển động của một vật trên quỹ đạo tròn.
• Trong quang học, gương cầu lồi và lõm có các tia sáng tiếp tuyến quan trọng trong quá trình phản xạ ánh sáng.
• Trong thiết kế và kỹ thuật, các tiếp tuyến được sử dụng để thiết kế bánh răng, cơ cấu máy móc có tiếp điểm lăn.

Một đường thẳng có thể có ba vị trí tương đối với đường tròn: cắt nhau hay tiếp xúc hoặc không giao nhau. Trường hợp tiếp xúc là một trong những trường hợp đặc biệt quan trọng với nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế. Hiểu rõ tính chất của tiếp tuyến giúp giải quyết nhiều bài toán hình học và kỹ thuật hiệu quả hơn.